Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Considere   v   =   ( 7 ,   − 5 ) e a base β   =   { ( 1 ,   − 1 ) , ( − 3 ,   2 ) } . Assinale a primeira entrada de [ v ] β , as coordenadas de v na base β .

(A) 3

(B) 1

(C) 2

(D) 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, vamos trabalhar com representação de um vetor em outras bases.

Lembram como podemos fazer isso? Bem primeiro vamos entender o que quer dizer representar um certo vetor a partir de uma base?

Bem, vamos supor que queremos representar o vetor ( 1,1 ) na base B =   { ( 1,2 ) , ( 0,1 ) } . Como fazemos isso?

escrevemos ( 1,1 ) como uma combinação linear dos elementos da base B = { ( 1,2 ) , ( 0,1 ) } . Temos que

( 1,1 ) = 1 ( 1,2 ) - 1 ( 0,1 )

Então, dizemos que

( 1,1 ) B = ( 1 , - 1 )

Ou seja, são os coeficientes utilizados na combinação linear dos elementos de B para escrevermos ( 1,1 ) . Show?

Passo 2

Bem, queremos a primeira entrada do vetor [ v ] β , que é o vetor   v   =   ( 7 ,   − 5 ) representado na base β   =   { ( 1 ,   − 1 ) , ( − 3 ,   2 ) } .

Como fazemos isso? De acordo com a nossa revisão, temos que descobrir os coeficientes da combinação linear dos elementos da base β tal que

  ( 7 ,   − 5 ) = a ( 1 , - 1 ) + b ( - 3,2 )

Bem, como é um vetor de tamanho 2 , podemos resolver por inspeção. Fazendo a = 1   e   b = - 2 , temos:

  ( 7 ,   − 5 ) = ( 1 , - 1 ) - 2 ( - 3,2 )

= ( 7 , - 5 )

Achamos a solução. Logo temos que

[ v ] β = ( 1 , - 2 )

Dessa forma, sua primeira entrada é 1 . Então concluímos que a alternativa correta é a b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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