Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I - Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é linearmente independente.

II - Se o conjunto das colunas da matriz de coeficientes

de um sistema linear é linearmente independente, então o sistema tem solução única.

(A) Apenas I é verdadeira.

(B) Apenas II é verdadeira.

(C) Todas são falsas.

(D) Todas são verdadeiras.

(E) Não sei

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é uma questão conceitual envolvendo sistemas lineares. Nosso objetivo é verificar a veracidade das afirmações. Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira afirmação

I - Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é linearmente independente.

Vamos lá, nossa hipótese é que o sistema linear tem solução. Agora, isso implica que as colunas da matriz AUMENTADA são LI? O que vocês acham?

Vamos tomar um sistema linear homogêneo. Nesse caso, como temos o vetor nulo na coluna da matriz aumentada, o conjunto das colunas será LD. E esse sistema sempre admite a solução trivial. Ou seja, essa afirmação é falsa

Passo 3

A segunda afirmação diz que

II - Se o conjunto das colunas da matriz de coeficientes

de um sistema linear é linearmente independente, então o sistema tem solução única.

E aí? Nesse caso a afirmação só diz respeito às colunas da matriz de coeficientes do sistema. Ora mas se as colunas são LI então a matriz do sistema é investível. Logo admite solução única. Por isso essa afirmação é verdadeira

Dessa forma a alternativa correta é a b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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