Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Sejam ε = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 bases de V 3 tais que

f → 1 = - 2 e → 1 + e → 2 ,   f → 2 = 2 e → 1 + 3 e → 2 ,   f → 3 = e → 1 - e → 3

E seja M a matriz tal que M u → ε = u → F , para todo u → ∈ V 3 . Temos que M é igual a:

(a) 1 8 - 3 2 - 3 1 2 1 0 0 - 8

(b) 1 8 - 3 1 0 2 2 0 - 3 1 - 8

(c) - 2 2 1 1 3 0 0 0 - 1

(d) - 2 1 0 2 3 0 1 0 - 1

(e) 2 - 2 1 3 1 0 0 0 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas bases, ε e F , e uma matriz M . Aí ele nos disse que os vetores que compõem a base F são combinações lineares dos vetores na base ε , ou seja:

f → 1 = - 2 e → 1 + e → 2

  f → 2 = 2 e → 1 + 3 e → 2

  f → 3 = e → 1 - e → 3

A matriz M é tal que M u → ε = u → F . Quê que isso nos lembra? Matriz de mudança base (ou de transformação linear), certo?

Isso porque essa matriz pega o vetor escrito nas coordenadas de uma base e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de outra base. E a gente escreve isso assim:

M u → ε = u → F

Só que com os dados que nós temos, nós estamos transformando os vetores da base F na base ε . Ou seja, nós temos uma matriz N que faz a transformação N u → F = u → ε . Então, pra encontrar a matriz M , que transforma uma vetor na base ε em um vetor na base F , nós vamos precisar encontrar uma matriz inversa N - 1 , tal que N - 1 seja igual a M , sacou?

As colunas dessa matriz N são extraídas dos coeficientes dos vetores f → 1 = - 2 e → 1 + e → 2 ,   f → 2 = 2 e → 1 + 3 e → 2 ,   f → 3 = e → 1 - e → 3 . Assim:

N = - 2 2 1 1 3 0 0 0 - 1

Portanto, para achar a matriz M , nós vamos vamos encontrar a inversa de N . Pra isso, vamos reduzir a matriz N à matriz identidade I , usando operações por linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir N - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de N , de forma que teremos uma matriz na forma:

N     I ]

Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I ; essas operações converterão o lado direito a N - 1 , de modo que a matriz final terá a forma:

I         N - 1 ]

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossa matriz ao lado da matriz identidade:

- 2 2 1 1 3 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar as operações trocando a primeira linha com a segunda linha e multiplicando a terceira linha por - 1 :

- 2 2 1 1 3 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 1 ↔ L 2 L 3 → - L 3 ⟹ 1 3 0 - 2 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1

Agora vamos multiplicar a primeira linha por 2 e depois somar a segunda linha:

1 3 0 - 2 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 L 1 → L 1 + L 2 ⇒ 1 3 0 0 8 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 - 1

Agora vamos multiplicar a segunda linha por 1 8 :

1 3 0 0 8 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 - 1 L 1 → L 1 + L 2 ⇒ 1 3 0 0 1 1 8 0 0 1 0 1 0 1 8 2 8 0 0 0 - 1

Agora vamos fazer duas operações seguidas. Primeiro, vamos multiplicar a terceira linha por 1 8 e subtrair o resultado da segunda linha. Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por 3 e subtrair da primeira. Assim:

1 3 0 0 1 1 8 0 0 1 0 1 0 1 8 2 8 0 0 0 - 1 L 2 → L 2 - 1 8 L 3 L 1 → L 1 - 3 L 2 ⟹ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 3 8 2 8 - 3 8 1 8 2 8 1 8 0 0 - 1

Então, achamos nossa matriz inversa:

N - 1 = - 3 8 2 8 - 3 8 1 8 2 8 1 8 0 0 - 1

Colocando 1 8 em evidência, e como N - 1 = M , temos:

M = 1 8 - 3 2 - 3 1 2 1 0 0 - 8

Que é a nossa alternativa (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M = 1 8 - 3 2 - 3 1 2 1 0 0 - 8

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