Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Sejam n   ≥   3 um inteiro, A uma matriz real n × n e considere as afirmações abaixo.

(I) Seja B a matriz obtida de A trocando a primeira linha pela primeira coluna (mantendo inalteradas as entradas que não estão nem na primeira linha nem na primeira coluna). Vale que d e t ( A )   =   d e t ( B ) .

(II) Denote por L 1 ,   L 2   e   L 3 a primeira, segunda e terceira linhas de A , respectivamente. Se B é a matriz obtida de A trocando a primeira linha por L 1   +   α L 2   +   β L 3 , então d e t ( A )   =   d e t ( B ) , quaisquer que sejam α ,   β   ∈   R .

(III) Se B é uma matriz real n   ×   n qualquer e X t denota a transposta de uma matriz X, então

d e t [ ( A B t ) t ]   =   d e t ( B A t )

As afirmações verdadeiras são:

  1. apenas a 2 e 3
  2. apenas a 2
  3. apenas a 3
  4. apenas a 1 e 2
  5. apenas a 1 e 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma que usa as propriedades do determinante. Vamos fazer uma revisão sobre o determinante.

Temos que

d e t ( A ) = d e t ( A t )

d e t ( A - 1 ) = 1 / d e t ( A )

d e t ( A B ) = d e t ( A ) d e t ( B )

e temos a seguinte propriedade

Se for somado, a uma linha (ou coluna) de A , um múltiplo de outra linha (ou coluna) de A , o determinante da nova matriz é igual ao de A .

Passo 2

Bem, vamos começar verificando as nossas afirmações. A primeira diz que. Seja B a matriz obtida de A trocando a primeira linha pela primeira coluna (mantendo inalteradas as entradas que não estão nem na primeira linha nem na primeira coluna). Vale que d e t ( A )   =   d e t ( B ) .

E aí, como resolvemos isso? Ora, vamos dar um contra exemplo. Tome a matriz

Como duas de suas linhas são iguais. Seu determinante será zero. Em contrapartida, quando fazemos a troca da primeira linha com a primeira coluna, temos

Que tem um determinante diferente de zero.

Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 3

Vamos para a segunda afirmação. Denote por L 1 ,   L 2   e   L 3 a primeira, segunda e terceira linhas de A , respectivamente. Se B é a matriz obtida de A trocando a primeira linha por L 1   +   α L 2   +   β L 3 , então d e t ( A )   =   d e t ( B ) , quaisquer que sejam α ,   β   ∈   R .

Bem, note que o que estamos fazendo aqui é substituir uma linha da matriz por ela mesma mais a combinação linear de outras linhas. Mas vimos na revisão que essa operação não altera o determinante. Logo essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Para finalizar, vamos checar a terceira afirmação. Que diz que se B é uma matriz real n   ×   n qualquer e X t denota a transposta de uma matriz X, então

d e t [ ( A B t ) t ]   =   d e t ( B A t )

Como temos uma igualdade, podemos começar manipulando o lado esquerdo para tentar chegar no lado direito. Então usando que

( A B ) t = B t A t

d e t [ ( A B t ) t ] = d e t [ ( B A t ) ]

Então a afirmação é correta. Portanto, chegamos a conclusão que as afirmações 2 e 3 são verdadeiras. Situação presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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