Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Dizemos que a matriz A é antissimétrica se A = - A T e simétrica se A = A T .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) Se A é antissimétrica e diagonal então A é a matriz nula

( b ) Se A é antissimétrica e triangular então A é a matriz nula

( c ) Se A é simétrica e antissimétrica então A é a matriz nula

( d ) Se A é simétrica e triangular então A é a matriz nula

Passo 1

Vamos pegar uma matriz triangular inferior 3 × 3 :

A = a 0 0 b d 0 c e f

Se ela é antissimétrica então:

A = - A T

a 0 0 b d 0 c e f = - a b c 0 d e 0 0 f

Por essa igualdade temos:

b = c = e = 0

a = - a ⇒ a = 0

d = - d ⇒ d = 0

f = - f ⇒ f = 0

Com isso, vemos que ela é a matriz nula! Eu testei pra uma 3 × 3 mas é fácil perceber que o resultado seria o mesmo para qualquer matriz. Eu poderia ter posto umas reticências lá na matriz pra indicar tamanho indeterminado mas só ia complicar mais haha.

Então a b é verdadeira.

Passo 2

Toda matriz diagonal é particularmente triangular!

Então a letra ( a ) é só um caso particular da letra ( b ) .

Então também tem que ser verdade.

Passo 3

Essa ( c ) é até mais fácil. Como ela é simétrica, então A = A T .

Como ela é antissimétrica, A = - A T .

Assim A T = - A T !!!

Ou seja, a matriz é ela mesma negativa, então ela tem que ser a matriz nula.

A T = 0

Se A T é uma matriz que só tem zeros, sua transposta A também será. Entendeu?? ;)

Passo 4

Bom só sobrou essa então é a falsa! Mas vamos ver porque. Vamos pegar uma matriz triangular inferior 3 × 3 como exemplo novamente: A = a 0 0 b d 0 c e f

Como ela é simétrica então:

A = A T

a 0 0 b d 0 c e f = a b c 0 d e 0 0 f

Dessa igualdade tiramos que:

b = c = e = 0

a = a

d = d

f = f

Então acabamos com uma matriz diagonal e não uma nula:

a 0 0 0 d 0 0 0 f

Resposta

Letra ( d )

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