Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Qual das matrizes abaixo pode não ser simétrica?

(a)   A A T  

(b) A + A T

(c) A - A T

(d) A T A

Passo 1

Vou pegar uma matriz genérica A = a b c d cuja transposta é A T = a c b d e testar essas alternativas:

(a)   A A T

a b c d a c b d = a 2 + b 2 a c + b d a c + b d c 2 + d 2

Para a matriz ser simétrica, o segundo elemento da primeira linha deve ser igual ao segundo elemento da primeira coluna:

a c + b d = a c + b d

Isso sempre vai ser verdade então essa não é nossa alternativa.

Passo 2

(b) A + A T

a b c d + a c b d = 2 a b + c c + b 2 d

Como b + c = c + b essa também sempre vai ser simétrica.

Passo 3

(c) A - A T

a b c d - a c b d = 0 b - c c - b 0

Mas como

c - b = - b - c

O resultado disso é

0 b - c - b - c 0

Ou seja, os termos da diagonal secundária têm sinais opostos, então a matriz não é simétrica!

Então essa é nossa resposta ;)

Passo 4

Vamos só olhar a letra D pra garantir?

Mas nem precise fazer muita conta! Já mostramos que A A T é simétrica, né?

Lembra que a transposta da transposta é a matriz original? É isso aqui A T T = A

Então vamos olhar o produto

A T A

Agora vamos dizer que A T = B

Isso significa que B T = A T T = A

Então podemos reescrever

A T A = B B T

Mas como A é uma matriz genérica, B também é uma matriz genérica! E como já mostramos que A A T é simétrica então B B T é simétrica também! Isso significa que A T A é uma matriz simétrica o/

Resposta

c

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