Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2015.1, Questão 10

Seja Equation uma matriz Equation . Deseja-se construir uma matriz Equation de forma que o produto Equation seja uma matriz Equation satisfazendo:

  1. A primeira linha de Equation é igual à soma de todas as linhas de Equation
  2. A segunda linha de Equation é igual à primeira linha de Equation menos a metade da soma das duas últimas linhas de Equation .

Qual a soma de todos os elementos da matriz Equation ?

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Vamos definir quem é a nossa matriz Equation , com letras mesmo:

Equation

Agora vamos item por item. Vamos fazer as linhas de Equation :

Equation

Sabendo que:

Equation

Basta resolver o sistema e achar os elementos de Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos efetuar o produto e montar o sistema:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Agora vamos analisar o sistema. Percebemos que os elementos de Equation são os coeficientes de Equation , então vamos observar os valores que eles podem possuir, pois se tentarmos resolver da forma tradicional vai nos custar muito tempo.

Podemos observar nas duas primeiras equações:

Equation

No lado esquerdo os coeficientes parecem ser Equation em todas as letras, então se tomarmos Equation satisfaz as duas equações???

Sim!! Então, Equation é solução do problema.

Agora vamos partir para as outras duas equações, e “ajeitar” um pouco elas:

Equation

Se tomarmos Equation e Equation satisfaz as duas equações??

Sim!! Então, Equation e Equation são soluções do nosso problema.

Portanto, a soma é:

Equation

Resposta

Letra Equation

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