Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2015.1, Questão 05

Seja Equation uma matriz Equation . Deseja-se construir uma matriz Equation de forma que o produto Equation seja uma matriz Equation satisfazendo:

Equation A primeira linha de Equation é igual à metade da soma de todas as linhas de Equation ;

Equation A segunda linha de Equation é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de Equation ;

Equation A terceira linha de Equation é igual à primeira linha de Equation ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz Equation ?

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Passo 1

Primeiro vamos ver o tamanho de Equation . Temos o seguinte:

Equation

Para que o produto seja possível precisamos que Equation , e para que Equation seja Equation precisamos que Equation . Logo, Equation é uma matriz Equation !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Normalmente nós faríamos o produto Equation combinando as colunas de Equation usando os elementos das colunas de Equation como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!

Por sorte, também sabemos que o produto Equation pode ser entendido como uma combinação das linhas de Equation usando os elementos das linhas de Equation como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:

Equation A primeira linha de Equation é igual à metade da soma de todas as linhas de Equation

Então a primeira linha de Equation tem que somar metade de todas as linhas de Equation :

Equation

Equation A segunda linha de Equation é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de Equation

Então a segunda linha de Equation tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de Equation . Assim?

Equation

Equation A terceira linha de Equation é igual à primeira linha de Equation

Então a terceira linha de Equation é:

Equation

Passo 3

Agora é só somar todos os elementos de Equation :

Equation

Resposta

Letra Equation

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