Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 2 × 2 satisfazendo:

  1. A primeira linha de C é igual à soma de todas as colunas de A
  2. A segunda linha de C é igual à primeira linha de A menos a metade da soma das duas últimas linhas de A .

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

a   3 2

b   5 2

c   4

d   3

Passo 1

Vamos definir quem é a nossa matriz A , com letras mesmo:

A = a b c d e f

Agora vamos item por item. Vamos fazer as linhas de C :

C = a + c + e b + d + f a - c + e 2 b - d + f 2

Sabendo que:

M = m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6

Basta resolver o sistema e achar os elementos de M .

Passo 2

Vamos efetuar o produto e montar o sistema:

C = M A ⇒

a + c + e b + d + f a - c + e 2 b - d + f 2 = m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 ⋅ a b c d e f ⇒

a + c + e b + d + f a - c + e 2 b - d + f 2 = a m 1 + c m 2 + e m 3 b m 1 + d m 2 + f m 3 a m 4 + c m 5 + e m 6 b m 4 + d m 5 + f m 6 ⇒

a + c + e = a m 1 + c m 2 + e m 3 b + d + f = b m 1 + d m 2 + f m 3 a - c + e 2 = a m 4 + c m 5 + e m 6 b - d + f 2 = b m 4 + d m 5 + f m 6

Passo 3

Agora vamos analisar o sistema. Percebemos que os elementos de M são os coeficientes de a , … , f , então vamos observar os valores que eles podem possuir, pois se tentarmos resolver da forma tradicional vai nos custar muito tempo.

Podemos observar nas duas primeiras equações:

a + c + e = a m 1 + c m 2 + e m 3 b + d + f = b m 1 + d m 2 + f m 3

No lado esquerdo os coeficientes parecem ser 1 em todas as letras, então se tomarmos m 1 = m 2 = m 3 = 1 satisfaz as duas equações???

Sim!! Então, m 1 = m 2 = m 3 = 1 é solução do problema.

Agora vamos partir para as outras duas equações, e “ajeitar” um pouco elas:

a - c 2 - e 2 = a m 4 + c m 5 + e m 6 b - d 2 - f 2 = b m 4 + d m 5 + f m 6

Se tomarmos m 4 = 1 e m 5 = m 6 = - 1 2 satisfaz as duas equações??

Sim!! Então, m 4 = 1 e m 5 = m 6 = - 1 2 são soluções do nosso problema.

Portanto, a soma é:

m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 2 - 1 2 = 3

Resposta

Letra ( d )

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