Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 75-20.

Calcular a área do triângulo de vértices A 1 ,   - 2 ,   1 ,   B 2 ,   - 1 ,   4   e   C - 1 ,   - 3 ,   3 .

Passo 1

Temos os vértices de um triângulo que são os pontos A , B   e   C . Com esses pontos devemos determinar a área do triângulo.

Na teoria vimos como calcular a área de um paralelogramo, então sucesso, já sabemos como fazer. Opa! Mas, aqui é a aréa de um triângulo!!! Como faremos?

Ahh precisamos de uma informação valiosa lá do colégio. Quando aprendemos que a área de um paralelogramo é duas vezes a área de um triângulo. Então, temos que:

A t r i a n g u l o = 1 2 A p a r a l e l o g r a m o

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Passo 2

Então, a área do paralelogramo sabemos calcular!

Pela figura, temos os vértices do triângulo A ,   B   e   C . Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores A B →   e   A C → , sabemos pela teoria que equivale ao módulo do produto vetorial entre esses dois vetores:

| A B → × A C | → = A p a r a l e l o g r a m o

Então, primeiro precisamos calcular o produto vetorial. Mas, antes precisamos calcular os vetores A B →   e   A C → , pois foi nos dado os pontos apenas.

A B → = B - A = 2 ,   - 1 ,   4 - 1 ,   - 2 ,   1 = 1 ,   1 ,   3

  A C → = C - A = - 1 ,   - 3 ,   3 - 1 ,   - 2 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   2 )

Agora sim, podemos calcular o produto vetorial:

A B → × A C → = ( 5 ,   - 8 ,   1 )

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo do vetor, para encontrar a área do paralelogramo.

| A B → × A C | → = 5 2 + - 8 2 + 1 2 = 9 0

A p a r a l e l o g r a m o = 90 = 3 10

Passo 4

Mas, não é ainda o que queremos. Queremos a área do triângulo que como falamos antes é:

A t r i a n g u l o = 1 2 A p a r a l e l o g r a m o

Então, temos que A p a r a l e l o g r a m o = 3 10 . Assim:

A t r i a n g u l o = 3 10 2   u . a

Depois de fazermos as contas, vamos fazer um questionamento: E se, tivéssemos utilizado, outros vetores, como, por exemplo, B C →   e   C A → alteraria nosso resultado?

O resultado deve ser o mesmo, pois o resultado final é dado em módulo, e esse é igual para qualquer vetor considerado.

Resposta

A t r i a n g u l o = 3 10 2   u . a

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