Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(d) Determine pontos diferentes E 1 ,   E 2 e E 3 tais que os pontos:

  • A, B, C e E 1 determinem um paralelogramo Π 1
  • A, B, C e E 2 determinem um paralelogramo Π 2
  • A, B, C e E 3 determinem um paralelogramo Π 3

(e) Determine as áreas destes três paralelogramos.

Passo 1

(d) Vamos esquematizar o que tá acontecendo em cada item dessa questão.

Vamos considerar os pontos genéricos O, P, Q e R.

Se montamos os vetores O P → , O Q → e O R → , vamos ter, pela regrinha de soma de vetores:

O R → = O P → + O Q →

Mas O R → = R - 0

Então conseguimos escrever o ponto R como:

R = O + O P → + O Q →

No caso do paralelogramo formado pelos pontos A, B, C e E 1 , vamos ter o ponto A = 1,0 , 1 e os vetores:

A B → = ( 0,2 , 2 )

A C → = ( 1,1 , 0 )

Substituindo na relação genérica que achamos antes:

E 1 = A + A B → + A C → = ( 2,3 , 3 )

Mas podemos também fixar o ponto B = 1,2 , 3 e encontrar os vetores:

B A → = A - B = 0 , - 2 , - 2

B C → = C - B = 1 , - 1 , - 2

Substituindo na relação, vamos achar outro ponto:

E 2 = B + B A → + B C → = 2 , - 1 , - 1

Por último, poderíamos ter fixado o ponto C = 2,1 , 1 . Aí teríamos os vetores:

C A → = - 1 , - 1,0

C B → = - 1,1 , 2

Com isso, achamos o último ponto:

E 3 = C + C A → + C B → = 0,1 , 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(e) Se temos dois vetores u → e v → , podemos formar um paralelogramo traçando vetores paralelos a eles:

Nesse caso, a área do paralelogramo vai ser dada por | | u → × v → | |

Vamos fazer isso pra cada paralelogramo que achamos no item anterior.

Para o paralelogramo Π 1 :

A 1 = A B → × A C → = 0,2 , 2 × 1,1 , 0 = ( - 2,2 , - 2 ) = - 2 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 2 3

Para o paralelogramo Π 2 :

A 2 = B A → × B C → = 0 , - 2 , - 2 × 1 , - 1 , - 2 = 2 3

Para o paralelogramo Π 3 :

A 3 = C A → × C B → = - 1 , - 1,0 × - 1,1 , 2 = 2 3

Resposta

(d) E 1 = 2,3 , 3 ,   E 2 = 2 , - 1 , - 1   e   E 3 = 0,1 , 3

(e) A 1 = 2 3 , A 2 = 2 3 e A 3 = 2 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas