Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 98-20.

Prove que se   u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → =   0 → então   u → =   0 → ou v → =   0 → . Interprete geometricamente.

Passo 1

Esse exercício requer conhecimentos do produto escalar e do produto vetorial. Bem, o enunciado pede para provarmos que se dizemos que os vetores u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → =   0 → então   u → =   0 → ou v → =   0 → .

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Passo 2

Vamos, analisar cada parte, começando por u → ∙   v → = 0 . Do produto escalar temos que:

u → ∙   v → = u → v → cos ⁡ θ

Se o enunciado nos diz que u → ∙   v → = 0 , então pela expressão acima temos três possibilidades:

  • O ângulo entre os vetores u →   e   v → , ou seja, θ = 90 ° .
  • u → = 0 →   u → = 0
  • v → = 0 →   v → = 0
  • Analisando a segunda afirmação u → ×   v → =   0 → e a relação do produto vetorial, temos :

    | u → ×   v → | = u →   v → sin ⁡ θ =   0

  • O ângulo entre os vetores u →   e   v → , ou seja, θ = 0 ° .
  • u → = 0 →   u → = 0
  • v → = 0 →   v → = 0

Passo 3

Já temos tudo o que podemos concluir com os dados que nos foram dados. Agora como sabemos que a relação entre u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → é de E, ou seja, é de intersecção, então, concluimos que:

u → = 0   o u   v → = 0

c.q.d

Falta falarmos da interpretação geométrica do problema. Bom, pensando geometricamente, sabemos que esses vetores não são paralelos entre si e nem formam 90 ° . Então, poderiam formar qualquer ângulo diferente de 0 °   e   90 ° . Mas, para satisfazer as duas condições do produto escalar e vetorial, a única possibilidade é a de que um dos vetores seja nulo.

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