Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-50.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →

Passo 1

São nos dados vetores na base cartesiana. E pede para que representemos num gráfico. Para cada um teremos que calcular o produto vetorial entre os vetores dados e depois desenhar num gráfico. Temos duas formas de fazer isso. Em cada item será apresentada uma forma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Primeira maneira de se resolver: Maneira analítica
  2. No item a nos é dado j → × 2 i → . Pode parecer uma representação esquisita, mas ela está na base cartesiana, ou seja:

  • i → indica a coordenada x .
  • j → indica a coordenada y .
  • k → indica a coordenada z .

Assim, é nos dado o seguinte produto vetorial:

j → = ( 0 ,   1 ,   0 )

2 i → = ( 2 ,   0 ,   0 )

Agora que sabemos a representação mais comum a nós, vamos fazer o produto vetorial:

j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )

Passo 3

  • Segunda maneira: Mais prática
  • Agora que já sabemos interpretar a representação cartesiana, fica mais tranquilo identificarmos os vetores 3 i →   e   2 k → .

    Se dominamos a regra da mão direita e a base cartesiana, esse jeito pode ser mais rápido.

    Bom, primeiro, sabemos que os versores i → ,   j →   e   k → da base cartesiana são ortogonais entre si, então, pela regra da mão direita sabemos que:

    i → × k → = - j →

    A direção e o sentido do nosso produto vetorial nós já achamos, simplemente aplicando a regra da mão direita. Mas, qual o módulo?

    Bom, sabemos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ θ

    Como sabemos, o Ângulo entre i → e k → é 90 ° , assim temos que:

    3 i →   × 2 k → = 3 i → 2 k → sin ⁡ 90 °

    3 i →   × 2 k → = 3.2 . 1 = 6

    Então,

    3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

    Resposta

    1. j → × 2 i → = ( 0 ,   0 ,   - 2 )
    2. 3 i → × 2 k → = ( 0 ,   - 6 ,   0 )

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