Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

UFPE – Geometria Analítica – 2018.2 – P1 – Questão 4

Seja A B C um triângulo de área 490 11 . Sejam M , N e P pontos tais que A M → = 2 7 A B → , B N → = 1 7 B C → e A P → = 3 7 A C → . Calcule a área do triângulo M N P .

Passo 1

Galera, se liga quando ele falar em área! Isso aí pede produto vetorial! Bom, então vamos por esse caminho. A área do triângulo A B C é dada por:

S A B C = 1 2 A B → × A C → = 490 11

A B → × A C → = 980 11

Beleza, guarda esse resultado!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que a gente quer na questão é a área do M N P . Então vamos escrevê-la!

S M N P = 1 2 P M → × P N →

Então a gente precisa achar esses dois vetores em função dos dois que temos. Mãos à obra! Primeiro repara que:

P M → = P A → + A M → = - 3 7 A C → + 2 7 A B →

E depois que:

P N → = P C → + C N →

Vamos calcular P C → e C N → assim:

A P → + P C → = A C →

3 7 A C → + P C → = A C →

P C → = 4 7 A C →

C N → = C B → + B N → = - B C → + 1 7 B C →

C N → = - 6 7 B C →

A B → + B C → = A C →

C N → = - 6 7 A C → - A B →

Substituindo,

P N → = 4 7 A C → - 6 7 A C → - A B →

P N → = - 2 7 A C → + 6 7 A B →

Passo 3

Agora vamos pra área!

S M N P = 1 2 P M → × P N →

S M N P = 1 2 - 3 7 A C → + 2 7 A B → × - 2 7 A C → + 6 7 A B →

S M N P = 1 2 6 49 A C → × A C → - 4 49 A B → × A C → - 18 49 A C → × A B → + 12 49 A B → × A B →

Lembra de duas propriedades: quando a gente faz o produto vetorial de um vetor por ele mesmo, o resultado é zero e quando invertemos a ordem do produto vetorial, muda o sinal.

S M N P = 1 2 - 4 49 A B → × A C → - 18 49 A C → × A B →

S M N P = 1 2 - 4 49 A B → × A C → + 18 49 A B → × A C →

S M N P = 1 2 14 49 A B → × A C →

S M N P = 1 7 A B → × A C →

Como já encontramos...

S M N P = 1 7 A B → × A C →

S M N P = 1 7 980 11

S M N P = 140 11

Resposta

S M N P = 140 11

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas