Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

a) Determine um ponto D para que os pontos

O = 0 ,   0 ,   0                             A = 1 ,   2 ,   0                             B = ( 0 ,   2 ,   1 )

e D determinem um paralelogramo P de R 3 . Calcule a área do paralelogramo P .

Passo 1

Com os pontos que temos, podemos formar 3 combinações de lados para o nosso paralelogramo:

I )   O A → = A - O = 1 ,   2 ,   0     e   O B → = B - O = ( 0 ,   2 ,   1 )

I I )   O A → = A - O = 1 ,   2 ,   0     e   A B → = B - A = ( - 1 ,   0 ,   1 )

I I I )   O B → = B - A = 0 ,   2 ,   1     e   A B → = B - A = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Lembra da regrinha do paralelogramo?? Se somarmos os dois lados em cada um dos 3 casos, vamos encontrar o vetor O D → , e aí é só fazer O D → = D - O para encontrarmos os possíveis pontos D :P

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o caso I :

O D → = 1 ,   2 ,   0 + ( 0 ,   2 ,   1 )

O D → = ( 1 ,   4 ,   1 )

Então:

D = O D → + O

D = 1 ,   4 ,   1 + ( 0 ,   0 ,   0 )

D = ( 1 ,   4 ,   1 )

A área do paralelogramo é

| O A → ∧ O B → | = | ( 2 ,   - 1 ,   2 ) |   = 4 + 1 + 4 = 3

Passo 3

Para o caso I I :

Nesse caso, B D → = - O A → = ( - 1 ,   - 2 ,   0 )

E:

O D → = O B → + B D → = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Então:

D = - 1 ,   0 ,   1 + 0 ,   0 ,   0 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

A área do paralelogramo é

| O A → ∧ A B → | = | ( 2 ,   - 1 ,   2 ) |   = 4 + 1 + 4 = 3

Passo 4

Para o caso I I I :

Nesse caso, O D → = - A B → = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Então:

D = 1 ,   0 ,   - 1 + 0 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

A área do paralelogramo é

| O B → ∧ A B → | = | ( 2 ,   - 1 ,   2 ) |   = 4 + 1 + 4 = 3

Resposta

Temos 3 opções:

D = ( 1 ,   4 ,   1 )

D = ( - 1 ,   0 ,   1 )

D = 1 ,   0 ,   - 1

A área do paralelogramo é sempre 3 .

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