Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Seja π o plano E 3 que contém a reta r   de equação

x - y + z = 1 x + 2 z = 3          

E o ponto A = ( 1,2 , 0 ) . Se uma equação geral de π é

a x + b y + c z = 4

Então a + b + c vale

a ) - 2

b )   0

c ) - 4

d )   4

e )   2

Passo 1

Falaaa, blz??? Vamos primeiro, antes de começar as contas de fato, entender o que a questão nos pede.

Primeiro, vamos lembrar o seguinte conceito, se temos π : a x + b y + c z = d um plano, podemos afirmar que v → = ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano. Então olhando para o que temos na questão, ele basicamente tá pedindo para acharmos o vetor normal ao plano.

Vamos tentar melhorar essa equação da reta para nos ajudar:

x - y + z = 1 x + 2 z = 3          

Subtraindo as equações:

x + 2 z - x - y + z = 2   → z + y = 2 ∴ z = 2 - y

Logo, a equação fica:

x - y + 2 - y = 1 x + 2 ( 2 - y ) = 3          

Ou seja

x - 2 y = - 1 x + 4 - 2 y = 3

Porém veja que ambas equações são iguais, ou seja, temos que:

x = - 1 + 2 y

Chamando y = t , podemos dizer que a solução é x , y , z = ( - 1 + 2 t , t , 2 - t ) , logo:

r :   x = - 1 + 2 t y = t                             z = 2 - t             ,     t ∈ R

Daqui, conseguimos tirar, por conta da equação parametrizada, que - 1,0 , 2 ∈ r   e   v → = ( 2,1 , - 1 ) é paralelo a r

Passo 2

Agora fica um pouco melhorar para atacar o problema...

Bom, vamos lembrar que o enunciado nos diz que o plano contém essa reta, ou seja, ele contém o ponto B = - 1,0 , 2 e o vetor   v → = ( 2,1 , - 1 ) tá no plano.

Lembra que queríamos achar um vetor normal ao plano?? Veja que agora temos um vetor do plano   v   → e dois pontos do plano (A e B), ou seja, com esses 2 pontos conseguimos achar outro vetor do plano. Com dois vetores de π , podemos usar produto vetorial para achar um terceiro vetor perpendicular aos 2, ou seja, perpendicular ao plano.

Passo 3

Ou seja, temos que:

v → = 2,1 , - 1   t á   e m   π

A B → = B - A = - 1,0 , 2 - 1,2 , 0 = - 2 , - 2,2   t á   e m   π

Conseguimos achar n → = v → ×   A B →   perpendicular a v →   e   A B →   ( o u   s e j a   a   π )

n → = v → ×   A B → =   i j k 2 1 - 1 - 2 - 2 2 = i 1 - 1 - 2 2 - j 2 - 1 - 2 2 + k 2 1 - 2 - 2

n → = 0 , - 2 , - 2   é   p e r p e n d i c u l a r   a   π

Porém, veja que se colocarmos esse vetor na equação do plano dada, ficaríamos com:

- 2 y - 2 z = 4 ,   c o l o c a n d o   o   p o n t o   A   n a   e q u a ç ã o ,   t e r i a m o s   q u e - 4 = 4   f a l s o

Ou seja, mesmo n → sendo perpendicular ao plano, ele não é o vetor que queremos, podemos simplesmente tomar - n → = 0,2 , 2 esse funciona quando colocado na equação, ou seja:

0,2 , 2 = a , b , c → a + b + c = 4

E finalmente acabou a questão, esse problema é o tipo de problema que possui os passos simples, porém precisa-se de alguma maturidade para enxergar que passos devemos fazer, ou seja, uma ótima questão para fazermos, mas ainda temos mais boas questões, bora para a próxima??

Resposta

Letra D

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