Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 94-59.

Calcular x , sabendo que A x ,   1 ,   1 ,   B 1 ,   - 1 ,   0     e     C 2 ,   1 ,   - 1 são vértices de um triângulo de área 29 2 .

Passo 1

Esse exercício é meio que o inverso do anterior, pois é nos dado os pontos que formam o triângulo e também é nos dada a área do triângulo. Então, o que devemos descobrir é a coordenada x do ponto A para que o triângulo tenha área 29 2 .

Sabemos que o módulo do produto vetorial entre os vetores A B →   e   A C → nos dará a área do paralelogramo, e que a área do paralelogramo é duas vezes a do triangulo, então temos que:

A t r i a n g u l o = 29 2 →   A p a r a l e l o g r a m o = 29

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabendo a área do paralelogramo, sabemos quanto deve dar o módulo do produto vetorial entre A B →   e   A C → . Então, vamos calcular o produto vetorial, mas primeiro vamos achar os vetores que precisamos.

A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   0 - x ,   1 ,   1 = 1 - x ,   - 2 ,   - 1

  A C → = C - A = 2 ,   1 ,   - 1 - x ,   1 ,   1 = ( 2 - x ,   0 ,   - 2 )

= 4 i → - ( 2 - x ) j → + 0 k → - - 2 2 - x k → + 0 i → - 2 1 - x j → = 4 i → + - x j → + ( 4 - 2 x ) k →

A B → × A C → = 4 i → + - x j → + ( 4 - 2 x ) k →

Passo 3

Já temos o produto vetorial. Agora, é calcular o módulo e igualar com a área do paralelogramo que já descobrimos quanto vale:

A B → × A C → = 4 2 + ( - x ) 2 + ( 4 - 2 x ) 2 = 29

Resolvendo a igualdade acima, temos:

16 + x 2 + ( 4 - 2 x ) 2 = 29

16 + x 2 + 16 - 16 x + 4 x 2 = 29 →   5 x 2 - 16 x + 3 = 0

Resolvendo a equação de 2º grau chegamos em duas soluções:

x = 3     o u   x = 1 5

Resposta

x = 3     o u   x = 1 5

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