Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2016.2, Questão 2cd

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.

c) Se u   e v   são vetores não nulos e com a mesma direção, então u + v 2 = u 2 + v 2 .

d) Se u   e v   são vetores do R 3 ortogonais e de mesmo módulo, então u × v = u ∙ u .

Passo 1

c) Se u   e v   são vetores não nulos e com a mesma direção, então u + v 2 = u 2 + v 2 .

Bom, vou tentar pegar dois vetores com mesma direção e ver se satisfaz isso aí:

u = 2,1

v = ( - 2 , - 1 )

Lembrando que dois vetores na mesma direção são múltiplos um do outro:

u + v 2 = 0

u 2 + v 2 = 5 + 5 = 10

Assim, conseguimos ver que é falsa, basta pegarmos dois vetores tal que u = - v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

d) Se u   e v   são vetores do R 3 ortogonais e de mesmo módulo, então u × v = u ∙ u .

Esse módulo do produto vetorial nos lembra uma coisa, não lembra?

Ele é igual área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Sabemos, porém, que esses vetores são ortogonais, fazendo esse paralelogramo virar um retângulo, e iguais, fazendo o retângulo virar um quadrado!

A área do quadrado é u 2 = v 2 e sabemos que isso é igual ao produto interno do vetor com ele mesmo: u 2 = u ∙ u .

Assim, a afirmativa é verdadeira

Resposta

c) Falsa

d) Verdadeira

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