Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-49.

Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 5.

Passo 1

O problema nos dá dois vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Com esses dois vetores devemos determinar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados e além disso, que seja unitário.

Bom, no exercício anterior vimos que se realizarmos o produto vetorial entre v 1 → e v 2 → , o vetor resultante será ortogonal a esses dois vetores. Okay, essa parte já entendemos!! E o unitário onde entra nessa história?

Calma!! Você vai entender tudinho!!

Na teoria não chegamos a falar sobre o termo “unitário”, mas ele significa que o módulo do vetor deve ser unitário. Assim, esse vetor é chamado de “versor”. Para achar o vetor unitário basta calcular o seu módulo e dividir cada coordenada pelo seu módulo, assim oh:

v → = x v → ,   y v → , z v →      

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, é fazermos as conta. Vamos começar resolvendo o produto vetorial v 1 →   × v 2 → :

v 1 → × v 2 → = ( 3 , - 3 , - 3 )

Achamos o vetor que queríamos, que é v → = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 ) . Agora falta transformá-lo em unitário.

Passo 3

Então, para fazê-lo ter módulo unitário, vamos calcular primeiro o seu módulo, que é:

v → = 3 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 27 = 3 3  

O vetor unitário que estamos procurando será:

v → = x v → ,   y v → , z v → → 3 3 3 ,   - 3 3 3 , - 3 3 3 = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3

É bom lembrar que se considerarmos v 2 → × v 1 → , obteremos como resultado o oposto do vetor obtido anteriormente, pois:

v 1 → × v 2 → = - v 2 → × v 1 →

Passo 4

Já temos o vetor unitário, agora queremos calcular um vetor de módulo cinco nas mesmas condições do anterior. Se nas mesmas condições do anterior podemos utilizar o resultado que temos.

Vamos pensar um pouco... Se o vetor que encontramos é unitário, ou seja, seu módulo é unitário, então, isso significa que se multiplicarmos as suas coordenadas por 5 , o vetor passará a ter módulo 5 ?

É exatamente isso. Então, o vetor de módulo 5   é:

v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3

Resposta

V e t o r   U n i t á r i o :   v → = 1 3 ,   - 1 3 ,   - 1 3   o u   v → = - 1 3 ,   1 3 ,   1 3    

V e t o r   m ó d u l o   5 :     v 5 → = 5 3 ,   - 5 3 , - 5 3   o u   v 5 → = - 5 3 ,   5 3 , 5 3  

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