Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Considere o prisma triangular reto (isto é, suas bases são triângulos e suas faces laterais retângulos) de vértices A ,   B ,   C ,   A ´ , B ´ ,   C ´

Sabe-se que A   =   ( 1,0 , 0 ) ;   B = ( 1,1 , 0 ) ;   C = ( 2,0 , 1 ) e o volume do prisma é igual a 2 . Se a primeira coordenada de A ´ é positiva ela é:

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de algelin.

Nosso objetivo é descobrir a primeira coordenada do ponto A ´ . e para isso nos é informado que A   =   ( 1,0 , 0 ) ;   B = ( 1,1 , 0 ) ;   C = ( 2,0 , 1 ) e o volume do prisma é igual a 2 . A primeira coordenada de A ´ é positiva.

Como vocês acham que podemos atacar esse problema? Vamos pensar um pouco

Passo 2

E ai, deu para pensar um pouco? Então vamos lá. O enunciado nos dá o volume do prisma, mas sabemos que o volume é a área da base vezes altura. Bem podemos calcular a área da base, e para obter a altura precisamos calcular o tamanho do vetor perpendicular à base (pois o prisma é reto). Veremos nos passos a seguir como encontramos esse vetor!!!!

Primeiro, vamos calcular a área da base. Como a base é um triângulo, a sua área será metade o módulo do produto vetorial dos vetores das arestas. isto é:

A   =   | ( A - C ) × ( A - B ) |/2

Vamos calcular ( A - C ) × ( A - B ) .

( A - C ) =   ( - 1,0 , 1 )

( A - B ) = ( 0 , - 1,0 )

Ao invés de calcularmos ( A - C ) × ( A - B ) pela definição, podemos usar o fato que ele retorna um vetor ortogonal a ( A - C )   e   ( A - B ) e tentar chutar esse vetor. Como ( A - C )   e   ( A - B ) são vetores simples, é fácil verificar que o vetor

( 1,0 , - 1 )

É ortogonal a ( A - C )   e   ( A - B )

Agora que temos o vetor normal a base do prisma, podemos calcular a área da base.

A   =   | ( A - C ) × ( A - B ) |/2

=   | ( 1,0 , 1 ) | / 2

=   2 / 2

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que a área da base é

  2 / 2

Mas o enunciado diz que o volume do prisma é 2 . Como o volume do prisma é área da base vezes a altura, temos:

2   =   h *   2 / 2

  ⇒ h = 2 2

Opa, agora sabemos qual deve ser a altura do nosso prisma, mas qual vetor representa a altura???

O vetor ORTOGONAL a base do prisma!!!! Mas já sabemos quem é esse vetor. Que é:

( 1,0 , 1 )

mas precisamos de um vetor ortogonal a base que tenha tamanho 2 2 . Isto é, queremos h tal que:

2 2   =   h * | ( 1,0 , 1 ) |  

2 2   =   h * 2  

  ⇒ h = 2  

Logo o vetor 2 ( 1,0 , 1 ) representa a altura do nosso prisma, pois tem tamanho 2 2 e é ortogonal a base.

Passo 4

Agora, só precisamos descobrir quem é o ponto A ´ . Ora mas o prisma reto tem as bases paralelas, logo o ponto A ´ será dado pelo ponto A mais o vetor da altura, isto é:

A ´   =   A   +   2 ( 1,0 , 1 )

Logo

A ´   =   ( 3,0 , 2 )

Que têm primeira coordenada igual a 3 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

3

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