Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Dados os pontos O = ( 0 ,   0 ,   0 ) , A = ( 2 ,   2 ,   1 ) e B = ( - 1 ,   0 ,   1 ) , vértices de um triângulo. Determine o comprimento da altura relativa ao vértice O e calcule a área do triângulo O A B .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, sabemos que esse triângulo é definido pelo vetores:

O A → = A - O = ( 2 ,   2 ,   1 )

O B → = B - O = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Beleza, a gente sabe que a área S de um triângulo é metade da área do paralelogramo, definido por O A → e O B → , ou seja:

S = O A → ∧ O B → 2

Bora calcular o produto vetorial O A → ∧ O B → :

O A → ∧ O B → = i ^ j ^ k ^ 2 2 1 - 1 0 1 = 2 i ^ - 3 j ^ + 2 k ^ = ( 2 ,   - 3 ,   2 )

O módulo desse produto vetorial vai ser

O A → ∧ O B → = 4 + 9 + 4 = 17

Então, a área S do triângulo é

S = 17 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que a área de um triângulo é b . h 2 certo??

Como queremos a altura relativa ao vértice O , nossa base será A B → = ( - 3 ,   - 2 ,   0 ) = 13 .

Logo:

S = b . h 2

17 2 = 13 . h 2

h = 17 13

Resposta

h = 17 13

S = 17 2

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