Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 93-47.

Determinar o valor de m para que o vetor w → = 1 ,   2 ,   m seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

Passo 1

O problema nos fornece os seguintes dados:

Dados: w → = 1 ,   2 ,   m ,   v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 )   e   v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .  

Com esses dados, o exercício pede para determinarmos o valor de m para que o vetor w → seja ortogonal (forme 90 ° ) simultaneamente aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

Buguei na parte que fala “simultaneamente ortogonal”!!!

Vamos relembrar um detalhe que vai nos ajudar ;).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na teoria vimos algumas propriedades do produto vetorial! Lembra? Pois é, eu sei que eram muitos, mas uma delas vai nos ajudar muito. Essa aqui!

Matou a charada?

Então, sabemos que o produto vetorial gera um vetor, e ainda a propriedade nos diz que esse vetor é simultaneamente ortogonal aos dois vetores que o formam. É tudo o que precisamos. Então, para acharmos m , precisamos forçar que w → = v 1 → × v 2 → ou também que w → = v 2 → × v 1 → , no caso iremos obter vetores oposto.

Passo 3

Então agora é mão na massa!!!

w → = v 1 → × v 2 → = ( 1 ,   2 ,   - 5 )

w → = 1 ,   2 ,   m = v 1 → × v 2 → → 1,2   ,   m = 1 ,   2 ,   - 5

m = - 5

Se você fizer w → = v 2 → × v 1 → , chegarás em:

w → = v 2 → × v 1 → = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

Nesse caso, a conta só vai fazer sentido com v 1 → × v 2 → , pois em v 2 → × v 1 → e igualando a w → , teremos:

w → = ( 1 ,   2 ,   m ) = ( - 1 ,   - 2 ,   5 )

1 ≠ - 1

2 ≠ - 2

Resposta

m = - 5

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