Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.1, Questão 3d,e

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se u   =   ( 1 ,   0 ,   0 ) e v   =   ( a ,   1 ,   0 ) , então a área do paralelogramo formado por u e v é igual a   1 seja qual for o valor de   a .

(e) Se u , v e w são vetores não nulos de R 3 e tais que u   ×   v   =   u   ×   w , então v   =   w .

Passo 1

(d) Se u   =   ( 1 ,   0 ,   0 ) e v   =   ( a ,   1 ,   0 ) , então a área do paralelogramo formado por u e v é igual a   1 seja qual for o valor de   a .

Podemos calcular a área do paralelogramo formado por dois vetores fazendo o módulo do produto vetorial deles:

u →   ×   v → = i → j → k → 1 0 0 a 1 0 = 1 ⋅ k → = k →

Pronto, temos que o módulo desse resultado vai ser 1, claramente hahaha, e realmente não depende de a , logo, a afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(e) Gente, acabamos de ver que o produto vetorial acima independe de uma das coordenadas, então isso prova que vetores com coordenadas diferentes podem gerar o mesmo produto vetorial.

Para dar o contraexemplo vou pegar valores diferentes de a para o caso acima:

u   =   ( 1 ,   0 ,   0 ) v   =   ( 0 ,   1 ,   0 ) w   =   ( 1 ,   1 ,   0 )

Como já calculamos ali em cima para um a   qualquer, não vou calcular de novo hahaha. Já ta provado pra vocês que essa afirmativa é falsa.

Resposta

(d)Verdadeiro

(e)Falso

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