Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 75-20.

Calcular a área do triângulo de vértices Equation

Passo 1

Temos os vértices de um triângulo que são os pontos Equation . Com esses pontos devemos determinar a área do triângulo.

Na teoria vimos como calcular a área de um paralelogramo, então sucesso, já sabemos como fazer. Opa! Mas, aqui é a aréa de um triângulo!!! Como faremos?

Ahh precisamos de uma informação valiosa lá do colégio. Quando aprendemos que a área de um paralelogramo é duas vezes a área de um triângulo. Então, temos que:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, a área do paralelogramo sabemos calcular!

Pela figura, temos os vértices do triângulo Equation . Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores Equation , sabemos pela teoria que equivale ao módulo do produto vetorial entre esses dois vetores:

Equation

Então, primeiro precisamos calcular o produto vetorial. Mas, antes precisamos calcular os vetores Equation , pois foi nos dado os pontos apenas.

Equation

Equation

Agora sim, podemos calcular o produto vetorial:

Equation

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo do vetor, para encontrar a área do paralelogramo.

Equation

Equation

Passo 4

Mas, não é ainda o que queremos. Queremos a área do triângulo que como falamos antes é:

Equation

Então, temos que Equation . Assim:

Equation

Depois de fazermos as contas, vamos fazer um questionamento: E se, tivéssemos utilizado, outros vetores, como, por exemplo, Equation alteraria nosso resultado?

O resultado deve ser o mesmo, pois o resultado final é dado em módulo, e esse é igual para qualquer vetor considerado.

Resposta

Equation

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