Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P1 - 2018.2, Questão 1de

Considere os pontos

Equation

e os vetores:

Equation

(d) Determine pontos diferentes Equation e Equation tais que os pontos:

  • A, B, C e Equation determinem um paralelogramo Equation
  • A, B, C e Equation determinem um paralelogramo Equation
  • A, B, C e Equation determinem um paralelogramo Equation

(e) Determine as áreas destes três paralelogramos.

Passo 1

(d) Vamos esquematizar o que tá acontecendo em cada item dessa questão.

Vamos considerar os pontos genéricos O, P, Q e R.

Se montamos os vetores Equation , Equation e Equation , vamos ter, pela regrinha de soma de vetores:

Equation

Mas Equation Equation

Então conseguimos escrever o ponto R como:

Equation

No caso do paralelogramo formado pelos pontos A, B, C e Equation , vamos ter o ponto Equation e os vetores:

Equation

Equation

Substituindo na relação genérica que achamos antes:

Equation

Mas podemos também fixar o ponto Equation e encontrar os vetores:

Equation

Equation

Substituindo na relação, vamos achar outro ponto:

Equation

Por último, poderíamos ter fixado o ponto Equation Aí teríamos os vetores:

Equation

Equation

Com isso, achamos o último ponto:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(e) Se temos dois vetores Equation e Equation , podemos formar um paralelogramo traçando vetores paralelos a eles:

Nesse caso, a área do paralelogramo vai ser dada por Equation Equation

Vamos fazer isso pra cada paralelogramo que achamos no item anterior.

Para o paralelogramo Equation

Equation

Para o paralelogramo Equation

Equation

Para o paralelogramo Equation

Equation

Resposta

(d) Equation

(e) Equation , Equation e Equation

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