Calcule os limites abaixo

i )   lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 - x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos avaliar o limite dessa função aqui

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 - x

Quando x → + ∞ , a raiz explode para + ∞ , mas o termo - x vai para - ∞ . Mas qual infinito é maior? Será que um é muito maior do que o outro? Será que dá zero? Um número?

Quando temos algo do tipo ( + ∞ - ∞ ) isso significa que temos uma indeterminação!

E para sair de indeterminações envolvendo raiz, precisamos racionalizar! Isso mesmo, vamos racionalizar o numerador e avaliar novamente o limite!

#alertatruquesujo

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

O limite que vamos analisar é esse aqui

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 - x

E como comentei ali em cima, vamos racionalizar o numerador: multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do termo com a raiz. O objetivo é manipular essa função até que a indeterminação seja levantada

x 2 - 1 - x × x 2 - 1 + x x 2 - 1 + x = x 2 - 1 2 - x 2 x 2 - 1 + x = x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1 + x

E agora vamos simplificar:

x 2 - 1 - x = x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1 + x = - 1 x 2 - 1 + x

Sacou? Com essa manipulação nos livramos daquela diferença de infinitos!

Bora avaliar esse limite de novo?

Passo 3

Vamos agora analisar novamente nosso limite, que era assim

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 - x

E agora está assim:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 2 - 1 + x

Quando x tende a + ∞ , o denominador

x 2 - 1 + x → + ∞ + ∞ = + ∞

Tudo bem até aqui?

Então nosso limite vai para + ∞ !

E é isso!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

+ ∞

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