Calcule os limites abaixo

j )   lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos avaliar o limite dessa função aqui

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

Quando x → + ∞ , a raiz explode para + ∞ , mas o termo - x vai para - ∞ . Mas qual infinito é maior? Será que um é muito maior do que o outro? Será que dá zero? Um número?

Quando temos algo do tipo ( + ∞ - ∞ ) isso significa que temos uma indeterminação!

E para sair de indeterminações envolvendo raiz, precisamos racionalizar! Isso mesmo, vamos racionalizar o numerador e avaliar novamente o limite!

#alertatruquesujo

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

O limite que vamos analisar é esse aqui

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

E como comentei ali em cima, vamos racionalizar o numerador: multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do termo com a raiz. O objetivo é manipular essa função até que a indeterminação seja levantada

x x 2 - 1 - x × x 2 - 1 + x x 2 - 1 + x = x x 2 - 1 2 - x 2 x 2 - 1 + x = x x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1 + x

E agora vamos simplificar:

x x 2 - 1 - x = x x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1 + x = - x x 2 - 1 + x

Sacou? Com essa manipulação nos livramos daquela diferença de infinitos!

Bora avaliar esse limite de novo?

Passo 3

Vamos agora analisar novamente nosso limite, que era assim

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

E agora está assim:

lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 - 1 + x

Quando x tende a + ∞ , o denominador

x 2 - 1 + x → + ∞ + ∞ = + ∞

Tudo bem até aqui? E o numerador? TAMBÉM!

Chegamos em uma NOVA indeterminação, mas agora é do tipo ∞ / ∞ . Então precisamos manipular NOVAMENTE a função para levantar essa indeterminação!

Quando temos esse tipo aqui de indeterminação

0 0     o u     ∞ ∞

precisamos manipular a função para levantar a indeterminação. Mas qual caminho seguir?

Vem comigo!

Sempre que tivermos uma razão de polinômios, vamos identificar o termo dominante (de maior potência) e colocar ele em evidência, tanto em cima quanto embaixo, e avaliar o limite.

Assim, qualquer termo que tenha 1 x n vai à zero 1 x n → 0 (para n ≥ 1 ) e ficamos com o comportamento a função no infinito!

Então bora lá!

Passo 4

Precisamos avaliar esse limite aqui agora

lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 - 1 + x

O termo dominante é o x , então valos colocar ele em evidência (atenção aqui para colocar em evidência o termo dentro da raiz)

lim x → + ∞ ⁡ x ( - 1 ) x 1 - 1 x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ ( - 1 ) 1 - 1 x 2 + 1

Agora vamos avaliar novamente (e esperamos que última vez) esse limite:

lim x → + ∞ ⁡ ( - 1 ) 1 - 1 x 2 + 1

O termo 1 x 2 → 0 , então em cima sobra o - 1 e embaixo

1 - 1 x 2 + 1 → 1 + 0 + 1 = 2

Daí temos

lim x → + ∞ ⁡ ( - 1 ) 1 - 1 x 2 + 1 = - 1 2

Assim nosso limite é - 1 2

E é isso!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

- 1 2

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