Calcule os limites abaixo

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x

Passo 1

Oieee tudo bem?

Bora láa

Vamos calcular o limite dado:

l i m x → + ∞   [ x 2 + 1   -   x ]

Primeiro, vamos observar o comportamento da expressão à medida que x se aproxima do infinito.

Dentro da raiz quadrada, à medida que x aumenta, o termo x 2 + 1 cresce mais rápido do que x.

Isso significa que eventualmente a parte dentro da raiz quadrada dominará a contribuição de x, e a diferença entre eles diminuirá.

Agora, vamos dividir e multiplicar a expressão por √(x^2) para racionalizar a expressão:

x 2 + 1 -   x   =   x 2 + 1 -   x * x 2 + 1   +   x x 2 + 1   +   x

                          = x 2 + 1   -   x 2 x 2 + 1 +   x

                          = 1 x 2 + 1 +   x  

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite à medida que x se aproxima do infinito:

l i m x → + ∞   1 x 2 + 1   +   x  

Dentro do denominador, tanto a raiz quadrada quanto x estão crescendo à medida que x aumenta.

Isso significa que a raiz quadrada sempre será menor do que x, e a soma dentro do denominador será dominada por x.

Assim, o limite será aproximadamente:

l i m x → + ∞   1 x 2 + 1   +   x   ≈ 1 x   +   x = 1 2 x

Finalmente, quando x tende ao infinito, o limite é:

l i m x → + ∞   1 2 x = 0 .

Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito é 0.

Resposta

Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito é 0.

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