5. Calcule os seguintes limites no infinito:

d) lim x → - ∞ ⁡ x + 6 96 x + 9 69

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular o limite da função x + 6 96 x + 9 69 para x tendendo a infinito negativo.

Parece complicado? 😬

A princípio, se substituirmos x por diretamente íamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Nesses casos, podemos imaginar que a melhor solução é aplicar a regra de L ' H o p i t a l , porém nosso grau dos polinômios no numerador e no denominador são muito grandes, então teríamos que aplicar o a regra muitas vezes até obter um resultado...

Com isso temos que aplicar algum outro método nesse caso, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

O que temos que fazer é manipular a função para facilitar nossos cálculos...

f x = x + 6 96 x + 9 69

Colocando x em evidência em cima e em baixo

f x = x 1 + 6 x 9 6 x 1 - 9 x 6 9 = x 9 9 1 + 6 x 9 6 x 6 9 1 - 9 x 6 9

Simplificando x 9 9 / x 6 9

f x = x 30 1 + 6 x 96 1 - 9 x 69

f x = x 30 · 1 + 6 x 96 1 - 9 x 69

Agora, se aplicarmos o limite fazendo x → - ∞ , temos que os termos 9 x e 6 x   vão tender a 0 já que temos uma fração cujo numerador é relativamente pequeno e o denominador é muito grande.

Dessa forma, em contrapartida o termo x 30 tende a já que o expoente é par, portanto, calculando o limite de f x , temos

lim x → - ∞ ⁡ x + 6 96 x + 9 69 = lim x → - ∞ ⁡ x 30 · 1 + 6 x 96 1 - 9 x 69 = - ∞ 30 · 1 + 6 - ∞ 96 1 - 9 - ∞ 69

lim x → - ∞ ⁡ x + 6 96 x + 9 69 = ∞ · 1 + 0 96 1 - 0 69

lim x → - ∞ ⁡ x + 6 96 x + 9 69 = ∞

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x + 6 96 x + 9 69 = ∞

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