Calcule os seguintes limites

h ) lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x

Nosso primeiro instinto é substituir o x , mas fazendo isso encontramos ∞ / ∞

E agora, como sair daqui?

Quando encontramos 0 / 0 ou ∞ / ∞ temos uma indeterminação! E para sair disso precisamos aplicar a regra de L’Hopital:

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x ' g x '

Vamos derivar em cima, derivar embaixo e avaliar novamente o limite! Vamos seguir com esse processo até sair da indeterminação, beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar derivando em cima e embaixo no limite

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x = lim x → ∞ ⁡ 2 . ln ⁡ x . 1 x 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x

E agora avaliar de novo o limite

= 2 . ∞ ∞ = ∞ ∞

Poxa vida, encontramos novamente uma indeterminação! Quando isso acontecer, você precisa derivar novamente em cima e embaixo e avaliar de novo o limite! Vai repetindo isso até sair da indeterminação! Beleza?

Derivando novamente temos

lim x → ∞ ⁡ 2 1 x 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x

E avaliando no limite

2 ∞ = 0

Pronto! Temos nosso limite!

Espero ter ajudado! Vamos treinar mais?

Resposta

0

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