Determine os valores de α para os quais existe o limite

l i m x → ∞ α x 4 - x 2 + 3 x 3 - x + 3 .

Passo 1

Eaew, beleza?

Precisamos calcular o seguinte limite

l i m x → ∞ α x 4 - x 2 + 3 x 3 - x + 3

ao avaliar diretamente teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , portanto, teremos que reescrever o limite! Limites como o acima tem uma maneira bastante específica de se resolver! Consegue se lembrar? Além disso, vamos precisar estudar valores de α que garantam a existência desse limite! Vou discutir isso com mais calma ao longo dos passos! Vem comigo!

Passo 2

Quando temos um limite no infinito de uma razão de polinômios, podemos reescrever o limite dividindo numerador e denominador pelo maior grau presente, em nosso caso, por x 4 , obtemos que

l i m x → ∞ α x 4 - x 2 + 3 x 3 - x + 3 = l i m x → ∞ ( α x 4 - x 2 + 3 ) / x 4 ( x 3 - x + 3 ) / x 4 = l i m x → ∞ α - 1 / x 2 + 3 / x 4 2 / x - 1 / x 3 + 3 / x 4

se avaliarmos agora o limite, iremos obter simplesmente que

l i m x → ∞ α - 1 / x 2 + 3 / x 4 2 / x - 1 / x 3 + 3 / x 4 = α - 1 / ∞ + 3 / ∞ 2 / ∞ - 1 / ∞ + 3 / ∞ = α 0

note que toda constante dividida por 0 tende ao infinito. Sendo assim, para qualquer constante α teríamos que o limite não existe! Mas, será que tem alguma excessão? SIM, quando α = 0 , o limite acima é indeterminado! Ou seja, vamos precisar analisar esse caso com mais calma! Saca só!

Passo 3

Com α = 0 temos que nosso limite se torna

l i m x → ∞ - x 2 + 3 x 3 - x + 3

novamente, podemos resolver dividindo o numerador e denominador pelo maior grau dos polinômios, mas agora, o maior grau se torna x 3 , de forma que temos

l i m x → ∞ - x 2 + 3 x 3 - x + 3 = l i m x → ∞ ( - x 2 + 3 ) / x 3 ( x 3 - x + 3 ) / x 3 = l i m x → ∞ - 1 / x + 3 / x 3 1 - 1 / x 2 + 3 / x 3

avaliando o limite, temos que

l i m x → ∞ - 1 / x + 3 / x 3 1 - 1 / x 2 + 3 / x 3 = - 1 / ∞ + 3 / ∞ 1 - 1 / ∞ + 3 / ∞ = 0 1

ou simplesmente

l i m x → ∞ - 1 / x + 3 / x 3 1 - 1 / x 2 + 3 / x 3 = 0

que é um limite válido! Mas o que esse problema quis mostrar? Sempre que você tem razões entre polinômios em limites no infinito, se o polinômio no numerador tem grau maior que o polinômio do denominador, o limite não existe, mas se o grau do numerador for igual ou menor, o limite existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

α = 0

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