Faça o que se pede em cada item, indicando claramente a(s) propriedade(s) utilizada(s) durantes os respectivos cálculos:

(b) Calcule lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ B x x 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função ln ⁡ B x x 3 quando x tende a infinito. Pra isso, vamos considerar B uma constante pertencente aos reais e tentar fugir da indeterminação, que seria ∞ ∞ .

Uma forma de fazer isso, nesses casos, é usar a regra de L’Hospital, onde a gente deriva numerador e denominador separadamente e depois calcula o limite da função.

Então, vamos lá!

Passo 2

Pra fugir da indeterminação, vamos começar aplicando L’Hospital. Derivando a função em cima e embaixo:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ B x x 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 B x ( B ) 3 x 2

Repare que a gente usou a regra da cadeia na derivação do numerador. Simplificando, fica:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 3 x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 3 x 3

Usando a propriedade da multiplicação por uma constante ( lim x → a ⁡ c ∙ f ( x ) = c ∙ lim x → a ⁡ f ( x ) ), temos:

1 3 lim x → ∞ ⁡ 1 x 3

Agora usando a propriedade do quociente dos limites ( lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x ) ), temos:

1 3 lim x → ∞ ⁡ 1 lim x → ∞ ⁡ x 3  

Assim, nós temos que lim x → ∞ ⁡ 1 = 1 e lim x → ∞ ⁡ x 3 = ∞ . Aplicando, fica:

1 3 ∙ 1 ∞ = 0

Porque a gente tem um número constante sendo dividido por um número muito grande, que tende a infinito, assim nosso resultado tende a zero.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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