7.3 Para as funções abaixo, encontre os limites quando (i) x → ∞ e (ii) x → - ∞ . Em seguida, determine quais funções admite uma assíntota horizontal. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas, bem como um esboço dos gráficos dessas funções indicando o(s) comportamento(s) assintóticos no infinito.

a) f x = 2 x 3 + 7 x 3 - x 2 + x + 7

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular o limite de 2 x 3 + 7 x 3 - x 2 + x + 7 quando x tendo a e quando x tende a - ∞ .

Se esses limites derem algum número (que não seja infinito), então vai apresentar assíntota horizontal e esse número vai indicar a reta paralela ao eixo x , que a assíntota vai encostar lááá no infinito.

Passo 2

(i) pra x tendendo a :

lim x → ∞ ⁡ 2 x 3 + 7 x 3 - x 2 + x + 7

Dividindo por x 3 em cima e embaixo:

= lim x → ∞ ⁡ 2 x 3 x 3 + 7 x 3 x 3 x 3 - x 2 x 3 + x x 3 + 7 x 3

= lim x → ∞ ⁡ 2 + 7 x 3 1 - 1 x + 1 x 2 + 7 x 3

O que tem x embaixo vai pra zero:

= 2 + 0 1 - 0 + 0 + 0

= 2

Então uma assíntota y = 2 quando x → ∞

Passo 3

(i) pra x tendendo a - :

lim x → ∞ ⁡ 2 x 3 + 7 x 3 - x 2 + x + 7

Dividindo por x 3 em cima e embaixo:

= lim x → ∞ ⁡ 2 x 3 x 3 + 7 x 3 x 3 x 3 - x 2 x 3 + x x 3 + 7 x 3

= lim x → ∞ ⁡ 2 + 7 x 3 1 - 1 x + 1 x 2 + 7 x 3

O que tem x embaixo vai pra zero, maaas onde tem expoente impar, a gente troca o sinal porque é meeenos infinito.

= 2 - 0 1 + 0 + 0 - 0

= 2

Então uma assíntota y = 2 quando x → - ∞

Para o gráfico temos, a função em verde e a assíntota em azul:

Resposta

Resposta nos passos

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