6. Usando o limite fundamental dado pela igualdade lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e calcule os seguintes limites:

d) lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter o resultado do limite da função 2 x + 3 2 x x dado o limite fundamental do enunciado.

E aí, como fazemos isso? 🤔

No enunciado, foi feito uma mudança de variável no limite fundamental. Onde tinha x foi substituído por 1 x , assim, como antes x tendia a , agora tende a 0

1 x → ∞ ,     x → 1 ∞ = 0

E o mesmo acontece na função...

De modo geral, esse limite fundamental é dado por

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x x = e a

O segredo é, se possível, reescrever a função do problema de modo que apareça a função do limite fundamental.

Sacou? Veja só!

Passo 2

Para verificarmos a igualdade da função do problema com a formula geral, vamos manipular ela um pouquinho

2 x + 3 2 x x = 2 x 2 x + 3 2 x x

Assim, como 2 x 2 x = 1 e podemos reescrever 3 2 x como 3 2 x = 3 2 x .

Substituindo na função, temos

2 x + 3 2 x x = 1 + 3 2 x x

Substituindo agora no limite.

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 / 2 x x

Veja que se compararmos a função simplificada com a formula geral, vemos que a = 3 2

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 / 2 x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + a x x

E, portanto.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 / 2 x x = e 3 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 / 2 x x = e 3 2

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