2Calcule os seguintes limites (NÃO é permitido o uso da regra de L’Hospital):

b)

lim x → 1 ⁡ x - x 2 x 4 - 1

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Questão de limite, primeiro passo é substituir o valor e ver no que dá:

1 - 1 2 1 4 - 1 = 0 0

Caímos em uma indeterminação 0 / 0 , vamos precisar trabalhar com o polinômio de cima e o de baixo da nossa fração, afim de sumir com essa indeterminação.

Como temos uma raíz, vamos usar aqui a técnica de multiplicar pelo conjugado.

Passo 2

Bom, nosso polinômio do numerador é

x - x 2

Vamos então multiplicar nossa fração (tanto em cima quanto em baixo) pelo conjugado desse cara aí que é:

x + x 2

Teremos portanto:

x - x 2 x 4 - 1 × x + x 2 x + x 2 = x - x 4 x 4 - 1 x + x 2

Bom, agora vemos ver se conseguimos sair da indeterminação, substituindo o valor do limite:

lim x → 1 ⁡ x - x 4 x 4 - 1 x + x 2 = 0 0 2 = 0 0

Voltamos pra indeterminação do tipo 0 / 0 . Mas repara no seguinte, quando substituímos x = 1 na fração, o termo que zera no numerador é o ( x - x 4 ) e o termo que zera no denominador é x 4 - 1 . Portanto, se dividirmos ambos os termos por x - x 0 , sendo x 0 = 1 a raíz desses termos, poderemos reescrever a fração e anular o x - 1 em cima e embaixo, vem comigo!

Passo 3

Dividindo x - x 4 por x - 1 , teremos:

Portanto, podemos reescrever x - x 4 como sendo:

x - x 4 = - x 3 - x 2 - x x - 1

E agora dividindo x 4 - 1 por x - 1 , teremos:

Portanto, x 4 - 1 pode ser reescrito como:

x 4 - 1 = x 3 + x 2 + x + 1 x - 1

Substituindo essas expressões que encontramos no nosso limite, teremos:

lim x → 1 ⁡ x - x 4 x 4 - 1 x + x 2 = lim x → 1 ⁡ - x 3 - x 2 - x x - 1 x 3 + x 2 + x + 1 x - 1 x + x 2

E portanto, podemos cortar o x - 1 de cima com o de baixo, e isso deverá acabar com a nossa indeterminação:

lim x → 1 ⁡ - x 3 - x 2 - x x 3 + x 2 + x + 1 x + x 2

Por fim, só devemos substituir o valor do limite, para verificar se chegamos em um valor real:

- 1 3 - 1 2 - 1 1 3 + 1 2 + 1 + 1 1 + 1 2 = - 3 4 × 2 = - 3 8

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - x 2 x 4 - 1 = - 3 8

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4