18) Achar as constantes a e b de modo que:

lim x → ∞ ⁡ a x + b - x 3 + 1 x 2 + 1 = 0

Passo 1

Faaala galerinha!

Essa questão pede pra gente determinar o valor de a e de b pro limite dar zero. Basicamente, a ideia é desenvolver a expressão dentro do limite, até que os valores de a e b que tornam o limite nulo estejam bem evidentes.

A primeira coisa é manipular um pouco essa expressão, pra tentar deixar tudo na mesma fração:

a x + b + x 3 + 1 x 2 + 1 = a x 3 +   + a x + b x 2 + b + x 3 + 1 x 2 + 1 = a + 1 x 3 + b x 2 + a x + b + 1 x 2 + 1

Passo 2

Beleza, e o que isso nos ajuda? É que em quociente de polinômios a ideia geralmente é colocar o expoente de maior grau em evidência. Mas, se fizermos isso, teremos algo assim:

x 3 a + 1 + b x + a x 2     + b + 1 x 3 x 3 1 x + 1 x 3

O problema é que ao cancelarmos o x 3 teremos denominador igual a zero quando x → ∞ .

Isso significa que não podemos ter o grau 3 no nosso polinômio do numerador, ou seja, o coeficiente de x 3 precisa ser zero. Então:

a + 1 = 0 ⇒ a =   - 1

Vamos ver como fica a expressão do limite:

x 2 b - 1 x + b + 1 x 2 x 2 1 + 1 x 2 = b - 1 x + b + 1 x 2 1 + 1 x 2

Passo 3

Agora já podemos aplicar o limite:

lim x → ∞ ⁡ b - 1 x + b + 1 x 2 1 + 1 x 2 = b

Então, como queremos que o limite seja nulo, devemos ter b = 0 .

Assim, apenas para confirmar, podemos substituir a =   - 1 e b = 0 para verificar se o limite realmente dá zero.

a + 1 x 3 + b x 2 + a x + b + 1 x 2 + 1 = - x + 1 x 2 + 1  

⇒ lim x → ∞ ⁡ a x + b - x 3 + 1 x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - x + 1 x 2 + 1 = 0  

Ótimo, então realmente a = - 1 e b = 0 .

Resposta

a =   - 1 e b = 0

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