Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites!):

(c) lim x → 0 ⁡ sin ⁡ cos ⁡ ( π / 2 - 3 x ) x π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função sin ⁡ cos ⁡ ( π / 2 - 3 x ) x π quando x tende a 0 .

Repare que não dá pra substituir 0 na função, porque o denominador do argumento do seno seria zero e isso não pode acontecer. Então, para calcular o limite, vamos tentar fugir dessa indeterminação usando identidades trigonométricas e simplificando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nosso limite:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ cos ⁡ ( π / 2 - 3 x ) x π

Repare que no argumento da função, nós temos algo do tipo cos ⁡ ( A - B ) . Sendo assim, nós podemos aplicar a identidade trigonométrica:

cos ⁡ ( A - B ) = cos ⁡ A cos ⁡ B + sin ⁡ A sin ⁡ B

No nosso caso A = π 2 e B = 3 x , Então ficaria:

cos ⁡ π 2 - 3 x = cos ⁡ π 2 cos ⁡ 3 x + sin ⁡ π 2 sin ⁡ 3 x

Como cos ⁡ π 2 = 0 e sin ⁡ π 2 = 1 , temos:

cos ⁡ π 2 - 3 x = 0 ∙ cos ⁡ 3 x + 1 ∙ sin ⁡ 3 x

cos ⁡ π 2 - 3 x = sin ⁡ 3 x

Passo 3

Substituindo isso no nosso limite, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ cos ⁡ ( π / 2 - 3 x ) x π

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ sin ⁡ ( 3 x ) x π

Multiplicando e dividindo esse argumento por 3 , vai ficar:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 π ∙ sin ⁡ ( 3 x ) 3 x

Agora repare que nós temos o limite fundamental ali no argumento, l i m x → 0 sin ⁡ ( 3 x ) 3 x = 1 . Então, vamos ficar apenas com:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 π

Que é uma constante e nós sabemos que o limite da constante é ela mesma. Então, temos:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 π = sin ⁡ ( 3 π )

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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