Calcule cada limite, caso exista. Se não existir, justifique.

e )   lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 sin ⁡ y x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando esse limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 sin ⁡ y x 2 + y 2

E pediu para calcular! E agora, como fazer?

Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!

Bora substituir!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 sin ⁡ y x 2 + y 2 = 0 0 + 0 = 0 0

Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos separar no produto de dois limites (isso porque temos uma função limitada – o seno)

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 . lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ sin ⁡ y

Bora começar! Vamos verificar a grandeza de x 2 x 2 + y 2 : sabemos que

0 < x 2

E também

0 < x 2 < x 2 + y 2

Se a gente dividir todos os lados por x 2 + y 2 temos

0 < x 2 x 2 + y 2 < 1

Isso significa que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2

É limitado! Sendo assim temos o produto de uma função limitada por

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ sin ⁡ y = 0

Então

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 ⏝ l i m i t a d a . lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ sin ⁡ y ⏝ = 0 = 0

sendo assim esse limite existe e vale 0

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4