Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

c) ∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral e verificar se ela converge ou não, caso precise. Repare que essa é uma integral imprópria, porque f x = 1 2 x - x 2 tem assíntotas em x = 0 e x = 2 . Então, a gente precisa calcular a integral em termos dos limites:

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 1 2 x - x 2 d x + lim t → 2 - ⁡ ∫ 0 t 1 2 x - x 2 d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando a integral:

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 1 2 x - x 2 d x

Completando o quadrado no denominador, temos:

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 1 - x - 1 2 + 1 d x

Vamos substituir x - 1 = u 2 pra tentar facilitar nossa vida. Assim, d u = d x . Quando x = 2 , u = 1 e quando x = t , u = t - 1 . Então, temos:

lim t → 0 + ⁡ ∫ t - 1 1 1 - u 2 + 1 d u

Resolvendo a integral, temos:

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ u + 1 2 - ln ⁡ u - 1 2 t - 1 1

Repare que se a gente substituir os intervalos de integração vamos acabar obtendo ln de números negativos e ln de 0 , que não está definidos na função. Então, podemos dizer que a integral diverge.

De forma parecida, pra segunda integral da soma do passo 1 , temos:

lim t → 2 - ⁡ ∫ 0 t 1 2 x - x 2 d x = lim t → 2 - ⁡ ∫ - 1 t - 1 1 - u 2 + 1 d u

= lim t → 2 - ⁡ ln ⁡ u + 1 2 - ln ⁡ u - 1 2 - 1 t - 1

Que também diverge quando substituímos os intervalos e calculamos o limite. Então, podemos dizer que:

∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x → d i v e r g e

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x → d i v e r g e

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4