Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.

  1. lim x → 1 ⁡ x + 2
  2. lim x → 2 ⁡ x 2 + x x + 3
  3. lim x → 0 ⁡ x 2 + x x
  4. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  5. lim x → - 1 ⁡ - x 2 - 2 x + 3
  6. lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3
  7. lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 x - 1 x 2 + 2
  8. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h
  9. lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1
  10. lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 1
  11. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  12. lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1
  13. lim x → 0 ⁡   x
  14. lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2
  15. lim x → 2 + ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )
  16. lim x → 2 ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )

Passo 1

Falaiii galerinha

Escolhe a pílula e simbora comigo ...

Vamos calcular o limite pedido:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Neste caso, ao substituir diretamente x = 1 , obtemos uma forma indeterminada do tipo 0 / 0 .

Isso indica que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite adequadamente.

Uma maneira de simplificar é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é 1 + 1 .

Passo 2

E ai, escolheu qual pílula?

Eu tenho plena certeza que você escolheu a pílula do responde ai, então irei explicar o processo teórico por trás do cálculo de limites envolvendo raízes e fatoração.

O limite é um conceito fundamental na análise matemática que descreve o comportamento de uma função quando a variável independente (geralmente denotada por x ) se aproxima de um determinado valor (geralmente denotado por a .

Escrevemos o limite da função f ( x ) à medida que x se aproxima de a da seguinte maneira:

lim x → a ⁡ f ( x )

No seu exemplo, estamos interessados em calcular o limite da função f x = ⁡ x - 1 x - 1

quando x   se aproxima de a = 1 .

Passo 3

Quando nos aproximamos de a = 1 temos um problema inicial: substituir diretamente x   por 1 na expressão nos daria uma forma indeterminada do tipo 0 / 0 .

Isso ocorre porque tanto o numerador como o denominador se tornam 0 quando x se aproxima de 1.

Para lidar com essa indeterminação, uma técnica comum é a de racionalização, que envolve manipular a expressão de forma algébrica para eliminar as raízes no numerador.

No seu caso, a racionalização envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é x + 1

A conjugada de uma expressão ( a   -   b )   é   ( a   +   b ) .

Passo 4

Multiplicando a expressão pelo conjugado do numerador, conseguimos eliminar a raiz quadrada no numerador:

x - 1 x - 1 ⋅ x + 1 x + 1 = x 2 - 1 2 x - 1 = x - 1 x - 1

Agora, como 0 não pode ser igual a 1 no denominador, podemos simplificar os termos e chegar a:

x - 1 x - 1 = 1

O que isso nos diz é que à medida que x se aproxima de 1, a função x - 1 x - 1   se aproxima de 1.

Portanto, o limite da função x - 1 x - 1   quando x se aproxima de 1 é igual a 1.

Isso significa que a função tem um comportamento definido e limitado conforme x se aproxima de 1.

O limite existe e é um número finito.

Resposta

1

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4