Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.

  1. lim x → 1 ⁡ x + 2
  2. lim x → 2 ⁡ x 2 + x x + 3
  3. lim x → 0 ⁡ x 2 + x x
  4. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  5. lim x → - 1 ⁡ - x 2 - 2 x + 3
  6. lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3
  7. lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 x - 1 x 2 + 2
  8. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h
  9. lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1
  10. lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 1
  11. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  12. lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1
  13. lim x → 0 ⁡   x
  14. lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2
  15. lim x → 2 + ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )
  16. lim x → 2 ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )

Passo 1

Oi galerinha, bora macetar essa questãozinha comigo

Encostaaaa, que eu vou explicar o processo teórico por trás do cálculo desse limite utilizando a definição formal de limite.

O limite de uma função f ( x ) quando x se aproxima de um valor a   é definido da seguinte forma:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Isso significa que quando x   está suficientemente próximo de a ,   a função f ( x ) se aproxima do valor L .

No exercício, estamos interessados em calcular o limite da expressão x + h 3 - x 3 h   quando h se aproxima de 0.

Passo 2

Note que o limite não envolve diretamente x ,   mas sim h ,   que é uma "variação" adicional que está se aproximando de zero.

A estratégia para calcular esse limite é expandir a expressão x   +   h 3 usando a fórmula para o cubo da soma, que nos dá:

x   +   h 3 = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3

Agora, podemos substituir essa expansão na expressão original:

x   +   h 3 - x 3 h = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h

Ao simplificar os termos, percebemos que vários deles se cancelam:

3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h

Passo 3

Aqui, o fator h   no numerador pode ser fatorado:

  3 x 2   +   3 x h   +   h 2

Agora, podemos calcular o limite à medida que h   se aproxima de 0:

lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 = 3 x 2 + 0 + 0 = 3 x 2

Portanto, o limite da expressão x   +   h 3 - x 3 h   quando h se aproxima de 0 é 3 x 2

Este processo de expansão, simplificação e avaliação do limite é uma aplicação da definição formal de limite e das propriedades básicas das operações aritméticas.

Ele nos permite determinar como a expressão varia quando h se torna muito próximo de zero, e nesse caso específico, chegamos à conclusão de que o limite é 3 x 2

Resposta

3 x 2

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4