Calcule, caso exista

j )   lim x → 0 ⁡ e x + 3 x 1 x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ e x + 3 x 1 x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ e x + 3 x 1 x     = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ e x + 3 x 1 x = lim x → 0 ⁡ e 1 x . ln ⁡ ( e x + 3 x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 ⁡ 1 x . ln ⁡ ( e x + 3 x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 ⁡ 1 x . ln ⁡ ( e x + 3 x )   = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( e x + 3 x ) x  

Substituindo o x por 0 ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! e é uma indeterminação que podemos aplicar L’hospital! Então já tá melhor!

Passo 3

Agora sim temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( e x + 3 x ) x   = lim x → 0 ⁡ 1 e x + 3 x ( e x + 3 ) 1  

Avaliando agora essa nova expressão no limite

lim x → 0 ⁡ ( e x + 3 ) e x + 3 x   = 4 1 = 4

Tudo bem? E por fim vamos retornar para a exponencial

e lim x → 0 ⁡ 1 x . ln ⁡ ( e x + 3 x )   = e 4

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 4

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4