Calcule, caso exista

x )   lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ ( 2 x 2 ) ln ⁡ ( 1 + 3 x 2 )      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ 2 x 2 ln ⁡ 1 + 3 x 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos identificar se é do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ ( 2 x 2 ) ln ⁡ ( 1 + 3 x 2 )     = lim x → 0 ⁡ 1 1 + 4 x 2 . 4 x 1 ( 1 + 3 x 2 ) . 6 x

Organizando temos

lim x → 0 ⁡ 4 x ( 1 + 3 x 2 ) 6 x ( 1 + 4 x 2 ) = 2 3 lim x → 0 ⁡ ( 1 + 3 x 2 ) ( 1 + 4 x 2 )

Se avaliarmos no limite vamos encontrar ∞ ∞ . Mas vamos olhar esse limite com mais carinho

Passo 3

No infinito

2 3 lim x → 0 ⁡ 1 + 3 x 2 1 + 4 x 2

Podemos desprezar aqueles + 1 em cima e embaixo aí ficamos com um limite mais simples

2 3 lim x → 0 ⁡ 3 x 2 4 x 2 = 2 3 . 3 4 lim x → 0 ⁡ 1 = 1 2

E é isso! Encontramos o nosso limite!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 2

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4