Calcule, caso existam, os limites abaixo:

f)

lim x → 0 ⁡ 1 + 5 x 1 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + 5 x 1 x

Para verificarmos o resultado desse limite, existem alguns métodos. Abaixo seguem alguns:

  1. Substituir o valor diretamente;
  2. Caso 1) não seja possível, podemos buscar simplificar a expressão;
  3. Analisar os limites laterais.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para esse caso, não podemos simplesmente substituir x por 0 na expressão pois teríamos uma indeterminação do tipo 1 0 no expoente.

Dessa forma, podemos simplificar a expressão utilizando a seguinte propriedade dos expoentes:

a x = e ln ⁡ a x

Aplicando essa regra na expressão do nosso limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 + 5 x 1 x = l i m x → 0   e ln ⁡ 1 + 5 x 1 x

Também podemos aplicar essa outra propriedade:

ln ⁡ a x = x ln ⁡ a

Assim, temos:

l i m x → 0   e ln ⁡ 1 + 5 x 1 x = l i m x → 0   e 1 x * ln ⁡ 1 + 5 x

Passo 3

Sabemos que, pela Regra da Cadeia, se lim u → b ⁡ f u = L e lim x → a ⁡ g x = b e f x contínuo em x = b , então temos que:

lim x → a ⁡ f g x = L

Assim, aplicando no nosso limite, temos:

g x = 1 x ln ⁡ 1 + 5 x

E

f u = e u

Logo, pela Regra da Cadeia e aplicando a regra de L’Hospital, temos:

l i m x → 0 l n 1 + 5 x x = l i m x → 0 l n 1 + 5 x ' x ' ∴

l i m x → 0 l n 1 + 5 x x = l i m x → 0 5 1 + 5 x ∴

l i m x → 0 l n 1 + 5 x x = 5

Dessa forma, temos que:

lim u → 5 ⁡ e u = e 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + 5 x 1 x = e 5

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