Calcule, se existir, o valor do limite:

b) lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o limite daquela função ali. Pra isso, nós vamos sempre buscar fugir das indeterminações.

Então, vamos tentar fatorar e simplificar a função até que a gente consiga substituir o valor do limite em x e verificar o valor.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2

Repare que se a gente substituir 2 no limite, vamos chegar numa indeterminação 0 0 . Então, vamos tentar simplificar essa função pra fugir disso. Repare que também que a gente tem uma raiz no numerador e que pode racionalizar esse numerador pra tentar fugir dessa indeterminação.

Isso significa que nós vamos multiplicar a função toda por x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4 , que é a mesma coisa de multiplicar por 1 , então não altera nada. Fica assim:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 ∙ x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4

Multiplicando termo a termo, vamos ficar com:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 2 - 4 2 ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

E aí nós podemos tirar o termo do numerador da raiz:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 16 ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Ainda não dá pra substituir o 2 do limite, mas repare que a gente tem um produto notável no numerador ( x 2 - 4 ), que fatorado é igual a ( x + 2 ) ( x - 2 ) . Substituindo isso, nosso limite fica:

lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Cortando os termos iguais:

lim x → 2 ⁡ x + 2 ( x 2 + 12 + 4 )

Agora podemos substituir x = 2 no limite e temos:

2 + 2 2 2 + 12 + 4 = 4 16 + 4

= 4 8 = 1 2

Logo,

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 = 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2

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