Calcule, quando existirem, os limites abaixo

a )   lim x → - 2 ⁡ 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4 - x 3 - 2 x 2 + 4 x + 8

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → - 2 ⁡ 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4 - x 3 - 2 x 2 + 4 x + 8

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por - 2 e encontramos

2 ( - 2 ) 3 + 9 ( - 2 ) 2 + 12 ( - 2 ) + 4 - - 2 3 - 2 - 2 2 + 4 ( - 2 ) + 8 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Quando encontramos 0 / 0 em uma função com polinômios isso significa que o valor é raiz tanto do polinômio de cima, quanto do de baixo! Então a ideia é fatorar eles e simplificar! Assim vamos levantar a indeterminação e calcular o limite de forma certinha

Bora lá!

Passo 2

O numerador

2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4

Podemos separar 9 x 2 = 1 x 2 + 8 x 2 e também 12 x = 8 x + 4 x fatorar por agrupamento, saca só

2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4 = 2 x 3 + 1 x 2 + 8 x 2 + 4 x + 8 x + 4

x 2 2 x + 1 + 4 x 2 x + 1 + 4 ( 2 x + 1 )

( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 x + 4 )

Tranquilo?

Agora o denominador:

- x 3 - 2 x 2 + 4 x + 8

Podemos escrever - 2 x 2 = - 4 x 2 + 2 x 2 e 4 x = 8 x - 4 x . Aí temos:

- x 3 + 2 x 2 - 4 x - 8 = - x 3 - 2 x 2 + 4 x 2 - 8 x + 4 x - 8

E podemos colocar em evidência ( x - 2 ) em cada dupla de termos:

= - 1 x 2 x - 2 + 4 x x - 2 + 4 x - 2 = - 1 x - 2 x 2 + 4 x + 4

Tudo bem por aqui?

Passo 3

Retomando nosso limite

lim x → - 2 ⁡ 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4 - x 3 - 2 x 2 + 4 x + 8

Vamos substituir pelas fatorações do passo anterior

lim x → - 2 ⁡ ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 x + 4 ) - 1 x - 2 x 2 + 4 x + 4

Beleza?

Agora vamos simplificar e avaliar novamente o limite em x = - 2

lim x → - 2 ⁡ ( 2 x + 1 ) - 1 x - 2 = 2 . - 2 + 1 - 2 - 2 = - 3 4

E é isso! Até a próxima!

Resposta

- 3 4

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4