1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

q) lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 - 3 1 - x 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = 1 x - 1 - 3 1 - x 3 para x tendendo a 1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por 1 e encontrar f 1 pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Vamos analisar como a função se comporta aos arredores de x = 1 . 👀

Passo 2

Vamos começar analisando o sinal da função.

Como nosso ponto é em x = 1 , se nos aproximarmos pela esquerda, vamos ter valores negativos para x e se nos aproximarmos pela direita, vamos ter valores positivos para x , portanto, o sinal da função f x em x = 1 depende da direção de onde ocorre a aproximação.

Em outras palavras, o termo 1 x - 1 é positivo se x > 1 e negativo se x < 1 , já o termo 3 1 - x 3 é positivo se x < 1 e negativo se x > 1 .

Conseguiu entender? 🤔

Com isso, a única maneira para o limite existir é se for igual a 0 pois se ele for igual a uma constante a , haverá uma divergência, pois, em um lado o limite será a e no outro lado será - a .

Vamos deixar de papo furado e bora começar a calcular!

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 - 3 1 - x 3

Perceba que os numeradores são constantes.

E se x → 1 os termos x - 1 e 1 - x 3 tendem a 0 (tender a 0 não é ser igual a 0 )

Portanto, temos uma constante sendo dividida por um número muito pequeno, que quase é 0 .

Dessa forma, os termos 1 x - 1 e 3 1 - x 3 tendem a .

Assim, pela explicação no início, o limite diverge, pois para ele existir deveria ser igual a 0 .

Logo, na realidade temos

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 - 3 1 - x 3 = ∞

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 - 3 1 - x 3 = - ∞

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 - 3 1 - x 3 = D i v e r g e

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4