1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

ζ ) lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 para x tendendo a 1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por 1 e encontrar f 1 pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1

Vamos fatorar o polinômio inscrito na raiz do numerador como

x 3 + x 2 - 5 x + 3 = x - 1 2 x + 3

E o polinômio do denominador como

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Substituindo na função...

f x = x - 1 2 x + 3 x - 1 x + 1 = x - 1 x + 3 x - 1 x + 1

f x = x + 3 x + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Com a função simplificada, podemos substituir no limite

lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 3 x + 1

Porém, temos um problema aqui!

Perceba que se x foi um pouco menor que 1 , a função x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 assume um valor negativo por causa do denominador e se x for um pouquinho maior que 1 , a função assume um valor positivo.

Por conta dessa divergência de sinais, a única maneira do limite existir seria se ele fosse igual a 0 pois se a função tender para uma constante c , para x menor que 1 a função vai tender para - c , causando uma divergência.

Substituindo x por 1 , temos

lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 3 x + 1 = 1 + 3 1 + 1

lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = 4 2

lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = 1

Esse resultado não é real por conta do que explicamos, então podemos dizer que

lim x → 1 + ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = 1

lim x → 1 - ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = - 1

Então o limite diverge.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 + x 2 - 5 x + 3 x 2 - 1 = D i v e r g e

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4