1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

α ) lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que calcular o limite da função f x = x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x .

E aí! Como fazemos isso? 🤔

De maneira geral, o limite de uma função resulta no valor em que ela tende a assumir quando x tende a um valor.

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por 2 e encontrar f 2 pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Quando isso acontece, a ferramenta mais poderosa que podemos usar é a regra de L ' H o p i t a l que diz que podemos derivar o numerador e o denominador e recalcular o limite.

Veja só! 😊

Passo 2

O limite é dado por

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x

Calculando a derivada do numerador, temos que aplicar a regra do produto

d x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 d x = d x 2 - 2 x d x · s e n x 2 - 4 + x 2 - 2 x · d s e n x 2 - 4 d x

Observe que a derivada de s e n x 2 - 4 deve ser obtida pela regra da cadeia já que s e n x 2 - 4 é uma função composta.

d x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 d x = d x 2 - 2 x d x · s e n x 2 - 4 + x 2 - 2 x · d x 2 - 4 d x d s e n u d u

As derivadas de x 2 - 2 x e x 2 - 4 são obtidas pelo método de derivação polinomial, mas a derivada de s e n u é obtida pelo teorema fundamental do cálculo.

d x 2 - 2 x d x = 2 x - 2

d x 2 - 4 d x = 2 x

d s e n u d u = cos ⁡ u

Substituindo na derivada...

d x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 d x = 2 x - 2 · s e n x 2 - 4 + x 2 - 2 x · 2 x cos ⁡ u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então vamos voltar de u para x 2 - 4

d x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 d x = 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos obter a derivada do denominador

d x 2 + 4 - 4 x d x = d x 2 + 4 d x - d 4 x d x

Aqui, ambas as derivadas são obtidas pela regra da cadeia...

d x 2 + 4 - 4 x d x = d x 2 + 4 d x d v d v - d 4 x d x d t d t

Agora derivamos pelo método de derivação polinomial

d x 2 + 4 d x = 2 x

d 4 x d x = 4

d v d v = 1 2 v

d t d t = 1 2 t

Substituindo na derivada...

d x 2 + 4 - 4 x d x = 2 x 1 2 v - 4 1 2 t

Voltando v para x 2 + 4 e t para 4 x , temos

d x 2 + 4 - 4 x d x = 2 x 1 2 x 2 + 4 - 4 1 2 4 x

d x 2 + 4 - 4 x d x = x x 2 + 4 - 2 4 x

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Substituindo os resultados no limite

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x

Substituindo x por 2 nesse novo limite, temos

lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x = 2 2 - 2 s e n 2 2 - 4 + 2 2 2 2 - 2 2 cos ⁡ 2 2 - 4 2 2 2 + 4 - 2 4 2

lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x = 2 0 + 4 0 1 2 8 - 2 8

lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x = 0 0

Aqui o filho chora e a mãe VÊ! Caímos em outra indeterminação, então vamos ter que aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente.

Bora lá! 👀

Passo 5

Derivando o numerador do limite...

d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 d x = d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x

d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 d x + d 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x

Vamos separar em duas partes, primeiro calculamos a derivada de 2 x - 2 s e n x 2 - 4

Novamente vamos aplicar a regra do produto como

d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 d x = d 2 x - 2 d x · s e n x 2 - 4 + 2 x - 2 · d s e n x 2 - 4 d x

Já sabemos qual é a derivada de s e n x 2 - 4 e para 2 x - 2 derivamos pelo método de derivação polinomial.

d 2 x - 2 s e n x 2 - 4 d x = 2 s e n x 2 - 4 + 2 x 2 x - 2 cos ⁡ x 2 - 4

Para a derivada de 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 calculamos do mesmo jeito

d 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = d 2 x 3 - 4 x 2 d x · cos ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 · d cos ⁡ x 2 - 4 d x

Aplicando a regra da cadeia na derivada de cos ⁡ x 2 - 4 ...

d 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = d 2 x 3 - 4 x 2 d x · cos ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 · d x 2 - 4 d x d cos ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pela regra da cadeia, temos

d 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = 6 x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 2 x - s e n u

d 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = 6 x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 - 4 - 2 x 2 x 3 - 4 x 2 s e n x 2 - 4

Foi de boa essa parte? 👍

Passo 6

Agora falta derivarmos o denominador

d x x 2 + 4 - 2 4 x d x = d x x 2 + 4 d x - d 2 4 x d x

Nesse caso, temos que aplicar a regra do quociente

d x x 2 + 4 d x = d x d x · x 2 + 4 - x · d x 2 + 4 d x x 2 + 4 2

Já conhecemos a derivada de x 2 + 4 , portanto

d x x 2 + 4 d x = 1 · x 2 + 4 - x · x x 2 + 4 x 2 + 4 2 = x 2 + 4 - x 2 x 2 + 4 x 2 + 4

E na derivada d 2 4 x d x vamos usar o mesmo método

d 2 4 x d x = d 2 d x · 4 x - 2 · d 4 x d x 4 x 2

Também já sabemos qual é a derivada de 4 x ...

d 2 4 x d x = 0 · 4 x - 2 · 2 4 x 4 x 2 = - 4 4 x 4 x

Será que agora vai? 🤔

Passo 7

Substituindo as duas partes das derivadas do numerador e do denominador no limite...

lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 s e n x 2 - 4 + 2 x x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x = lim x → 2 ⁡ 2 s e n x 2 - 4 + 2 x 2 x - 2 cos ⁡ x 2 - 4 + 6 x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 - 4 - 2 x 2 x 3 - 4 x 2 s e n x 2 - 4 1 x 2 + 4 x 2 + 4 - x 2 x 2 + 4 - - 4 4 x 4 x = lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x

Enorme, não é? 👀👀

Substituindo x por 2 novamente...

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 2 s e n 2 2 - 4 + 2 2 2 2 - 2 cos ⁡ 2 2 - 4 + 6 2 2 - 8 2 cos ⁡ 2 2 - 4 - 2 2 2 2 3 - 4 2 2 s e n 2 2 - 4 1 2 2 + 4 2 2 + 4 - 2 2 2 2 + 4 - - 4 4 2 4 2

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 2 s e n 0 + 4 2 cos ⁡ 0 + 8 cos ⁡ 0 - 4 0 s e n 0 1 8 8 - 4 8 - - 4 8 8

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 8 + 8 8 8 - 1 2 8 + 1 2 8

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 16 8 8

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 128 8

E finalmente, como 1 8 = 2 4 chegamos em

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 32 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x s e n x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 32 2

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