Calcule, quando existirem, os limites abaixo

j )   lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 3 x 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 3 x 2

Mas seguindo nosso instinto vamos substituir x por 0 e encontramos

1 - cos ⁡ 0 3 0 2 = 0 0

Uma indeterminação! E agora, como sair dela?

Quando encontramos 0 / 0 em um limite, precisamos lembrar da Regra de L’Hospital:

lim x → a  ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ i n d e t e r m i n a ç ã o lim x → a  ⁡ f x ' g x '

Então a ideia é derivar a função que está no numerador, a que está no denominador e avaliar novamente o limite

Caso encontrarmos mais uma vez a indeterminação, basta derivar de novo! Vai fazendo isso até levantar por completo a indeterminação!

Bora lá!

Passo 2

Nosso limite

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 3 x 2

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos ⁡ x 2 3 . ( - sin ⁡ x ) 2 x = 1 6 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x   cos ⁡ x 2 3

Tranquilo?

Agora vamos avaliar novamente o limite!

Passo 3

Retomando nosso limite

1 6 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x   cos ⁡ x 2 3

Agora vamos substituir x por 0

sin ⁡ x x   cos ⁡ x 2 3 = 0 0

Beleza? Poxa vida, encontramos novamente uma indeterminação, bora derivar de novo?

1 6 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x   cos ⁡ x 2 3 = 1 6 lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 . cos ⁡ x 2 3 + x . 1 3 cos ⁡ x 5 3 . 5 cos 4 ⁡ x . ( - sin ⁡ x )

Tranquilo? Calma, não se assusta com o tamanho da expressão! Vamos avaliar novamente o limite em x = 0

= 1 6 cos ⁡ 0 1 . cos ⁡ 0 2 3 + 0 . 1 3 cos ⁡ 0 5 3 . 5 cos 4 ⁡ 0 . ( - sin ⁡ 0 )

= 1 6 ⋅ 1 1 + 0 1 = 1 6

oba! Achamos o limite!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4